아주 우연한 사건에 관한 수학적 고찰

이언 스튜어트(수학자)

수학자 조지프 마주르는 큰 수의 법칙, 숨은 변수의 이론, 빈도 분포, 베르누이의 법칙, 기댓값, 매우 큰 수의 법칙 등 간단한 확률과 통계 개념으로 우리가 흔히 우연한 사건이라 부르는 일들을 해부한다. 도박에서부터 카지노의 룰렛, 카드 게임, 생일 문제, DNA 증거, 주식 투자에서의 요행, 과학적 발견, 문학작품 속 이야기까지 친숙한 일상적 사례로 아주 우연적 사건들이 우리에게 어떤 의미를 갖는지 그리고 왜 이런 사건들이 일어날 수밖에 없는지를 설득력 있게 설명하고 있다. 언뜻 보기에 세계에서 벌어지는 일이 자연계에서 일어나는 일들이 우연으로 가득한 것 같아 보이지만 사실 무작위성과 큰 수의 법칙으로 설명할 수 있다는 것이 요점이다. 이렇게 마주르는 우연에 대한 우리의 잘못된 믿음과 신화를 수학적으로 깨트리면서도 우리가 살고 있는 세계가 얼마나 거대하고 경이로운지 역설한다.

들어가며 06

1부 이야기들
1장. 아주 우연한 사건들 019
2장. 우연한 사건의 10가지 유형 025
3장. 우리는 왜 우연에 의미를 부여할까? 043

2부 수학
4장. 확률이란 무엇인가? 061
5장. 베르누이의 선물 073
6장. 줄줄이 나오는 동전 윗면 095
7장. 파스칼 삼각형 105
8장. 원숭이 문제 124

3부 분석
9장. 세계의 거대함 145
10장. 우연의 10가지 유형에 대한 수학적 고찰 162

4부 머리긁개
11장. 증거 197
12장. 발견 219
13장. 위험 236
14장. 초능력 247
15장. 이야기 속 우연의 일치 267

에필로그 288
주석 292
감사의 말 311

이 책은 세계가 얼마나 거대하면서도 동시에 작은지 알려준다. 이 책에는 어떤 이야기의 확률을 평가하는 실제적인 수학적 기법들도 들어 있으며, 우연의 일치 사건의 빈도를 살펴봄으로써 그런 사건이 실제로 벌어질 때 멍청하게도 우리가 놀라는 이유를 설명한다. 아울러 무작위성을 이해하기 위한 수학적 도구들이 초기에 어떻게 개발되었는지 살펴본다. 결국 이런 발전 덕분에, 우연의 일치란 것은 우리가 무수한 무작위적 가능성들로 이루어진 거대한 세계에 살기 때문에 생기는 결과임을 알게 된다.(10쪽)영국 수학자 칼 피어슨(Karl Pearson)은 몬테카를로 카지노에서 발표된 1892년 7월부터 8월까지의 4주간 기록을 분석하여 다음 사실을 알아냈다. 즉, 카지노 시스템은 비록 룰렛 테이블의 기계장치가 최대한 정확하게 설정되어 있었는데도 우연의 법칙을 완벽히 따르지 않았다. 수학적으로 정확하다고 가정한다면, 확률 법칙에 따라 공은 휠의 서른일곱 숫자 칸 어디에나 똑같은 확률로 들어가야 한다.
0칸을 제외하면 공이 붉은색 숫자 칸이나 검은색 숫자 칸에 들어갈 수학적 확률은 똑같다. 즉, 휠을 아주 많이 돌리면 공은 붉은색 숫자 칸에 총 횟수의 50퍼센트만큼 들어가야 한다는 뜻이다.
하지만 몬테카를로 카지노 룰렛 휠을 4,274번 돌렸을 때의 결과를 피어슨이 2주간 검사했더니, 평균에서 벗어난 표준편차가 기대되는 값보다 거의 열 배였다. 정상적인 룰렛 휠에서 그럴 확률은 10조 분의 1보다 낮다! 피어슨은 이렇게 적었다. “설령 몬테카를로 룰렛 게임이 지구의 지질학적 시간의 시작부터 진행되었더라도, 그 게임이 우연에 의해 작동한다고 가정한다면 우리는 이 2주간에 벌어졌던 것과 같은 일이 ‘한 번이라도’ 발생하길 기대하지 않아야 한다.”(119~120)“자연의 수많은 복잡한 현상들도 동전 던지기나 수 하나 고르기를 엄청나게 많은 횟수를 시행하는 과정으로 설명할 수 있을지 모른다. 그처럼 엄청나게 방대한 수들로부터 우연은 끊임없이 진화하는 역학계를 창조해낸다. 덕분에 색깔이 있는 잉크는 궁극적인 목적 없이 물에 균일하게 퍼지고, 기체는 진공과 압력을 공유함으로써 열역학 법칙을 만족시키고, 벼룩들은 아무렇게나 뛰어서 체커판에 고르게 흩어지고, DNA는 아무 계획 없이 조금씩 이전의 상태와 조금 다르게 자신을 복제하여 각양각색의 인간들을 우연히 창조해낸다.”(152쪽)

· 우연한 일치에 대한 잘못된 믿음과 신화 그리고 우리가 사는 세계의 거대함과 경이로움!
· 간단한 확률과 통계에 대한 개념으로 일어날 법하지 않은 지극히 우연적 사건에서부터 도박, 악덕거래인의 거래, 지진, 복권 당첨, DNA 증거, 과학적 발견, 초능력, 문학작품의 이야기까지 흥미진진하게 풀어낸다!수학은 우연을 어떻게 이해할까· 우연적 사건의 10가지 유형으로 살펴보는 우연에 관한 수학a. 초록색 고양이가 화요일에 당신의 산책길을 가로지른다.
b. 들어본 적 없는 증조부가 세상을 떠나면서 백만 달러의 유산을 당신에게 남긴다.
c. 이십 년 전에 잃어버렸던 반지가 동네의 벼룩시장에서 나타난다.
d. 꿈에서 군중 속에서 키 큰 낯선 사람을 만났는데, 현실에서 똑같은 일이 벌어진다.
e. 텍사스 로또 복권에 두 번 당첨된다.
f. 보라보라 섬에서 친동생을 우연히 만난다.
g. 당신의 이름이 표지에 적힌 마크 트웨인의 『불가사의한 이방인』을 외국의 한 헌책방에서 발견한다.
h. 여권을 갱신했더니 새 여권 번호가 당신의 주민등록번호와 똑같다.
i. 당신이 십 대 때 갖고 있던 마크 트웨인의 『불가사의한 이방인』을 어느 공원 벤치에서 발견한다. (g와 매우 비슷한 사건)
j. 시카고에서 택시를 불렀더니 운전사가 당신이 일 년 전에 뉴욕에서 불렀던 운전사와 동일 인물이다.‘이런 일이 벌어질 확률은 얼마나 될까· ’ 위와 같은 우연한 사건이 벌어지면 우리는 놀라워하고 ‘이런 사건이 일어날 확률이 얼마나 될까’ 하며 의미를 부여한다. 어쩌면 인간의 당연한 심리이다. 불확실하고, 덧없는 인간의 삶에 우연한 사건과 행운이 있다는 것은 인간에게 뭔가 기대감과 희망을 주기 때문이다. 수학자 조지프 마주르는 너무도 확률이 낮아 비현실적으로 여겨지는 우연적 사건들을 수학적으로 고찰한다. 우리가 경험할 수 있는 우연적 사건의 10가지 유형을 뽑아낸 다음 각 사건이 일어날 확률을 수학적으로 따져보면서 과연 이 세계에서 벌어지는 우연적 사건들을 어떤 인과관계 속에서 판단할 수 있는지 우연과 운에 대해 우리가 갖고 있는 신화와 잘못된 믿음은 무엇인지 윤곽을 그린다. 세상에서 벌어지는 우연적 사건에 대한 수학적 통찰은 우리가 사는 세계가 얼마나 거대하면서도 또 역설적으로 얼마나 작은지, 또한 세상의 일들이 서로 얼마나 긴밀하게 연결되어 있으면서도 상관관계가 없는지를 파악할 수 있는 새로운 시각을 선사한다.우연에 대한 잘못된 믿음과 신화 그리고 수학확률에 따른 예측, 도박에서의 행운 등 불확실성과 우연에 대한 진지한 수학적 논의는 17세기에 들어서야 이루어졌다. 기회, 운, 우연 등과 같은 말들은 인간의 영역이 아니라 신의 영역이라 생각했던 것이다. 지은이는 이렇게 다소 늦게 싹을 틔운 확률과 통계 분야의 선구자들인 지롤라모 카르다노, 갈릴레오 갈릴레이, 파스칼, 하위헌스, 베르누이 등이 내놓은 기본적인 개념들을 살핀다. 사실 큰 수의 법칙, 숨은 변수의 이론, 대단히 큰 수의 법칙, 베르누이의 법칙, 기댓값, 빈도 분포 등과 같은 통계와 확률의 기본 개념은 어렵지 않게 이해할 수 있을 만큼 단순하다. 물론 지은이는 확실한 이유 없이 동시에 발생하는 동일 사건 혹은 유사 사건들을 범주에 따라 수집해서 연구했던 파울 캄머러, 사건들의 특이한 동시 발생을 이해하기 위해 동시성의 개념을 도입했던 칼 구스타프 융 등 수학 이외의 다른 연구자들의 흥미로운 시각도 폭넓게 살핀다.
통계와 확률의 기본 개념은 단순하면서도 강력하다. 우리의 직관에 어긋나는 통계적 현실 그리고 우연에 대한 믿음과 신화를 벗겨내기도 하지만 자연과 이 세계의 질서와 무질서를 이해하는 데도 훌륭한 틀을 제공한다. 이런 시각으로 보면 세상에서 벌어지는 아주 우연적 사건도 사실 충분히 가능함을 이해할 수 있다. 동전을 던졌을 때 (우리의 예상과 달리) 수십 번 연속으로 앞면만 나올 수 있고(동전은 이전에 앞면이 나왔는지 기억하지 못한다. 우리가 기억하고 믿을 뿐이다), 룰렛 휠 하나에 28번 연속으로 들어갈 승산은 고작 268,435,456 대 1이지만 현실에서는 일어날 수 있으며(영국 수학자 칼 피어슨이 몬테카를로 카지노에서 발표된 1892년 7월의 기록을 분석했을 때 실제로 나온 사례이다) 로또 복권에 한 사람이 네 번 당첨되는 일(1993년 미국의 조앤 긴더라는 여성에게 일어난 일이다. 복권에 네 번 당첨될 승산은 18×10의 24승 대 1로 약 1000조 년에 1번 일어날 확률이다)도 가능함을 알게 된다.(41쪽) 이런 사건들은 엄청나게 불가능한 행운이나 우연이 아니라 이 거대한 세계에서는 수학적으로 충분히 일어날 수 있는 일이다.자연과 세계의 질서 그리고 사건들 간의 인과관계를 꿰뚫어보는 방법이런 질문을 해보자. 로또복권의 추첨 기계는 완벽하게 무작위적일까· 카지노의 룰렛은 공정한 것일까· 주사위를 아무리 정교하게 깎아도, 카지노 룰렛을 아무리 정교하게 만들어도 현실의 무수한 요소들이 절대적 무작위성을 담보할 수 없다. 주사위는 던졌을 때의 손 안에서의 위치, 주변에 부는 바람, 떨어지는 곳의 물리적 상태 등 무수히 많은 요인에 의해 영향을 받는다. 이론상의 절대적 무작위성은 현실에서의 절대적 무작위성과 다르다. 이런 점에서 우리는 현실 세계의 사건에 대해 인과관계를 정확하게 판단할 수 없다. 그렇다면 수학적 개념은 이상적인 것일 뿐일까· 여기서 큰 수의 법칙과 이론적 무작위성은 막강한 힘을 발휘한다. 제아무리 숨은 변수들이 있더라도(물론 정확한 인과관계를 밝힐 수 없는 것도 있다) 거대한 세계 안에서는 수학적 법칙으로 충분히 이해 가능하다. 따라서 공정한 동전이라면 연속적으로 수십 번 앞면만 나올 수도 있지만 수백 번 수천 번 시행하면 앞면과 뒷면이 거의 비슷한 확률로 나오고, 물속에 떨어진 잉크는 서서히 퍼져 일정한 시간이 지나면 물 전체로 고르게 퍼지며, 자연 현상은 어떤 질서를 찾아서 흘러간다. 지은이는 이렇듯 아주 우연적 사건이 벌어질 수 있는 가능성과 수학적 세계가 어떻게 조화를 이룰 수 있는지를 보여준다. 간단한 통계와 확률 개념을 가지고 세상이 얼마나 거대하며 경이로운 사건들이 발생할 수 있는 장소인지를 역설적으로 보여주는 것이다.무작위성과 큰 수의 법칙이 만들어내는 자연과 인간 세계의 경이로움어떻게 보면 이 지구상에 인간이라는 존재가 살고 있는 것 자체도 엄청난 우연처럼 보인다. 6600만 년 전의 혜성 충돌이 궤도를 약간만 빗나갔더라도, 진화의 과정에서 DNA의 조합이 살짝만 다르게 되었더라도 인류는 존재하지 않았을지도 모른다. 하지만 거대한 무작위성과 큰 수의 법칙은 수많은 조합과 우연을 만들어내며 인간의 진화를 가능하게 하며, 세상의 일들을 설명할 수 있게 한다. 자연의 수많은 복잡한 현상들도 동전 던지기나 숫자 하나 고르기를 엄청나게 많은 횟수를 시행하는 과정으로 설명할 수 있을지 모른다.
무지개가 생기는 원리를 물리학적으로 규명한다고 해서 무지개의 아름다움과 감동이 사그라지지 않는다. 세상에서 우연을 가장하고 벌어진 일을 수학적으로 고찰한다고 해서 세계의 거대함과 경이로움이 사라지지는 않는다. 오히려 우연과 운에 대한 수학적 관점은 이 세상의 질서와 무질서 그리고 사건의 인과관계에 대한 폭넓은 시각을 우리에게 준다.