복잡한 세상을 심플하게 꿰뚫어보는 수학적 사고의 힘

학문이란 원래 밝혀지지 않았던 새로운 진리를 찾아내어 증명하는 것이다. 그래서 학자는 미지의 장소에서 본 적 없는 보물을 찾아내는 모험가와 같다. 수학 역시 마찬가지로 세상의 이치와 우리 삶에 관한 새로운 비밀과 깨달음을 발견하는 학문이다. 그런데 우리는 지금까지 학교에서 이미 해답이 있는 문제를 푸는 방법을 ‘수학’, 그 해답을 구하는 데 필요한 논리적 사고를 ‘수학적 사고’라 배워왔다. 그 탓에 많은 사람들이 똑같은 문제만 풀다가 어려운 수식에 가로막혀 정작 수학 본래의 내용과 사용법을 알지 못한 채 수학에서 멀어져갔다. [숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책]은 일본의 천재 인지과학자가 숫자와 수식이 아닌 세상살이의 다양한 예시를 통해 진짜 수학이란 무엇인지 알려주고, 놀라울 정도로 유용한 수학적 사고의 힘을 쉽게 설명해주는 책이다. 도마베치 박사가 말하는 ‘온갖 정보를 자유롭게 구축하여 한순간에 복잡한 세상을 심플하게 꿰뚫어보는 수학적 사고’를 통해, 우리는 수식에 담긴 수학 본래의 의미를 깨닫고 수학이라는 도구를 제대로 사용하는 방법을 익혀 진정한 의미로 현실 사회에서 활용하는 길을 배울 수 있다. 책을 덮을 때 독자들은, 수학을 알고 수학적 사고를 익힌다는 것은 결국 우리가 인생에서 만나는 여러 가지 문제를 해결할 가장 근사한 도구를 손에 넣는 일임을 깨닫게 될 것이다.

서장t지금까지 우리가 수학을 못했던 이유
수학은 문제를 해결하기 위한 학문이 아니다
그렇다면 학문이란 무엇인가
그동안 우리가 배운 학문은 ‘정리’에 불과했다
올바른 학문을 위한 스타트
우리는 왜 수학을 공부하는가
‘이과’의 의미

제1장t수학적 사고란 무엇인가
수학과 정면으로 마주해보자
수학은 언어이다
언어는 번역하면 된다
문과생도 알 수 있는 [양자론]
[불확정성 원리]의 의미
터널 효과
우리는 이미 수학 우주 안에 살고 있다
왜 수학이 어려울까
문예비평으로 변한 철학
Δl×Δυ]h는 ‘이 세상에 확정적인 것은 아무것도 없음’을 나타내는 수식일 뿐

제2장t수학이란 무엇인가
수학 공간 자유롭게 구축하기
왜 마이너스×마이너스는 플러스가 될까?
‘마이너스 3m 진행하는 차’란 어떤 의미일까?
벡터 공간을 느끼다
수학적 사고란 암기도 계산도 아니다
현실과 비현실을 뒤바꾸는 수학
수학상으로만 존재하는 공간
이 세상에는 존재하지 않는 것을 존재하게 하는 수학
수학에 숫자는 필요 없다
공식을 외우는 것은 수학이 아니다
규칙을 찾다
이 세상에 존재하지 않는 연역법
논리 사고에 관한 오해
세계는 연역법으로 움직이고 있다
연역법으로 세계를 움직이는 방법

제3장t행복을 측정하는 경제학과 수학의 방법
행복의 기준이란 무엇인가
행복감의 기준은 양이 아닌 변화
인간은 이익보다 손실에 민감하다
가치 함수
인간이 위험을 무릅쓰는 경우
인간은 논리적으로 살지 않는다
불합리한 사회
수학이라는 학문 세계에도 있는 불합리함
세계는 한정 합리성으로 움직이고 있다
가추법

제4장t인공지능과 수학적 사고
모호한 판단이 옳다
인간에게 ‘정보 부족’은 인공지능에게 ‘정보 과다’
인간의 사고는 자연계에 있지 않다
딥러닝
싱귤래리티
디스토피아를 만드는 것은 인간이다
수학과 철학
술어논리
당신은 인공지능에 어떤 명령을 내리겠는가?

제5장t원리원칙과 우아한 증명
우아한 증명을 이끌어내는 원리원칙
‘자유’란 무엇인가?
헌법이 부정하는 자유
자유는 멋진 것일까?
‘고민’에 관한 수학적 사고
프레임 문제
강제 종료
‘종교’라는 해법
‘일’에 관한 고민
일본식 비즈니스
실패를 감추는 문화
올바른 비즈니스를 위한 판단
프린서플
생각은 혼돈에서 탄생한다

맺음말

“수학적 사고로 문제를 해결하는 책을 쓰실 수 있습니까?”
이런 질문을 예전부터 받아왔지만 나는 그다지 내키지 않았다. 그 이유는 ‘수학적 사고로 문제를 해결한다’는 발상에 위화감을 느꼈기 때문이다.
수학은 문제를 풀기 위한 도구가 아니다. 반대로 ‘문제를 찾기 위한 것’이다. 적어도 내가 배운 수학은 그랬다. 스스로 문제를 찾고 한순간에 풀어낸다. 풀이 방법과 풀이의 증명은 나중 이야기이고, 솔직하게 말하자면 다른 사람이 해낸다 해도 상관없다.
[페르마의 마지막 정리]가 바로 이런 예이다. 수학의 미해결 문제로 가장 유명했던 이 정리는 페르마가 어떤 책의 페이지 구석에 ‘내가 놀랄 만한 증명을 발견했지만, 그것을 쓰기에는 여백이 너무 부족하다’라는 말을 남긴 것으로 시작되었다. 결국 이것을 증명해낸 사람은 360년 후의 수학자였다. 하지만 풀어낸 수학자의 이름을 알고 있는 사람은 과연 몇이나 될까? 참고로 이 사람의 이름은 앤드루 와일스였지만 결국 우리의 기억에 남아 있는 사람은 페르마이다.
이렇게 한순간에 찾아낸 풀이를 수학의 세계에서는 ‘우아한 증명’이라고 말한다. 수학에서 우아함은 ‘가장 심플한 것’을 의미한다. 현재 [피타고라스 정리]의 증명은 500개 정도 존재하지만 그중에서 가장 간결한 것이 우아한 증명이라는 말이다.
[p12-13 | 서장 지금까지 우리가 수학을 못했던 이유]수학이 서툰 사람들은 수식을 이해하지 못해서 수학에서 멀어져간다. 수식 따위는 그저 도구이며 언어일 뿐인데, 이것을 몰라서 수학에서 멀어져간다는 것은 너무나도 안타깝다. 우주의 이치란 무엇일까? 우리는 무엇을 위해 태어나고, 무엇을 위해 살아갈까? 더욱 좋은 삶을 위해서는 어떻게 하면 될까? 수학은 여기에 구체적으로 답하고 있다. 중요한 것은 표현 방법이 아니라 표현된 내용이다.
Δl×Δυ]h. 이것은 [불확정성 원리]를 나타내는 어려운 수식이 아니라, ‘이 세상에 확정적인 것은 아무것도 없다’는 의미를 표현하고 있는 언어이다. 이에 대해 아인슈타인은 “그렇지 않다. 인간이 아직 진리에 도달하지 못한 것뿐이다”라고 반론했다. 이때 그는 ‘신은 주사위놀이를 하지 않는다’라는 유명한 명언을 남겼다. 천재 물리학자가 신이라는 언어까지 꺼내가며 이것을 부정하려고 한 것이다.
괴델의 [불완전성 원리]도 그렇다. 이것은 ‘완전한 것은 없음’을 나타내는 언어이다. 완전한 것은 없다는 말은 ‘신도 존재하지 않는다’는 뜻이다. 수학자가 말하는 내용이 이런 것이다. 사실 [불완전성 원리]를 발표한 뒤 괴델은 반대로 [신의 존재 증명(Godel’s ontological proof)]에 몰두하게 되었고, 결국 정신적으로 문제가 생겼다. 정말 불행한 일이다. 이렇게 아플 정도로 온 힘을 다해 몰두하게 하는 마성의 매력으로 가득 찬 것, 이것이 바로 수학이다.
[p47-48 | 제1장 수학적 사고란 무엇인가]수학은 ‘수학 우주’가 있다는 것을 전제로 하는 학문이다. 특별히 ‘우주’라고 표현한 이유는 넓이를 의식해주기를 바라기 때문이다. 수학 우주란 물리 우주 이외의 수식으로 표현되는 세계이다.
‘물리 이외의 우주가 세상에 존재할까?’라고 생각하는 사람도 있을 것 같은데, 예를 들면 ‘3-4=-1’은 수식으로 표현이 가능하지만 ‘공이 3개 들어 있는 주머니에서 4개의 공을 꺼내는 것’은 불가능한 일이다. 고작 뺄셈만으로도 우리는 간단하게 물리 공간에서 떨어져 나와 상상의 세계인 정보 공간에 들어갈 수 있다. ‘물리 공간에서 떨어져 정보 공간을 자유롭게 구축하는 것’, 바로 이 부분이 수학적 사고에서 가장 중요한 부분이다.
[p52 | 제2장 수학이란 무엇인가]행동경제학은 ‘인간은 논리적으로 살지 않는다. 하지만 그것이 꼭 틀렸다고는 할 수 없다’고 말하고 있다. 그러면서 왜 인간은 논리적 사고를 추구하는 것일까? 그 이유는 아마 ‘모순이 싫어서’일 것이다. 인간의 성질이 이익보다 손실에 민감한 것과 마찬가지로, 인간은 합리적인 것을 좋아하는 것이 아니라 모순을 두려워한다. 여러분도 그런 경험이 있을 것이다. 우리가 두려워하는 것은 ‘조금 전에 한 말과 지금 한 말이 모순되는’ 상황이다.
‘내기에서는 졌지만, 자산으로 따지면 졌다고 할 수 없지’ 혹은 ‘기대치를 계산하면 이건 도박이 아니라 확실한 투자이기 때문에 잃는다 해도 어쩔 수가 없어’와 같이, 자신이나 타인을 납득시키기 위한 이유를 만들기 위해서 논리가 필요하다. 알기 쉽게 설명하자면 ‘변명’이 필요한 것이다.
이것은 일상생활에서도 마찬가지다. 내 행동이나 언동에 대해서 누구에게도 손가락질 받고 싶지 않다. 다른 사람에게 발목 잡히지 않고, 약한 모습을 보여주지도 않으면서 살고 싶다. 회의에서 논리 정연하게 상사를 설득하고, 프레젠테이션에서는 설득력 있는 언어를 사용해서 클라?

“수학에 숫자는 필요 없다!”
누구나 이해할 수 있는 진짜 수학 이야기
‘수학이란 무엇이며 우리는 왜 수학을 배우는가?’ 아마도 수학을 싫어하고 이해하지 못하는 사람들의 가장 근본적인 질문은 이것일 것이다. ‘수식을 통해 답을 구하는 행위’에 대체 무슨 의미가 있기에 그토록 오랫동안 학교에서 뜻 모를 공식을 외우며 고생을 했는지 도무지 알 수 없다면서 말이다. 이에 대한 가장 쉽고 재미있고 반가운 대답이 바로 『숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책』에 담겨 있다.
미국의 예일대학과 카네기멜런대학에서 인공지능과 컴퓨터 사이언스를 연구하고 일본인 최초로 계산언어학 박사가 된 천재 과학자 도마베치 히데토는 이 책을 통해 이렇게 말하고 있다. “사실 수학이란 수를 다루는 것이 아니며 수학에 숫자는 필요 없다. 또한 수학이란 답을 구하는 것이 아니라 문제를 발견하는 것이며, 문제를 제대로 발견할 수만 있다면 답은 저절로 나오게 되어 있다.” 즉, 우리가 수학을 하는 이유는 공식을 외워 두뇌 트레이닝을 하기 위해서가 아니라 지금까지 아무도 깨닫지 못했던 새로운 문제를 발견하기 위함이라는 뜻이다.
또한 “우주의 이치란 무엇일까? 우리는 무엇을 위해 태어나고, 무엇을 위해 살아갈까? 더욱 좋은 삶을 위해서는 어떻게 하면 될까? 수학은 이런 문제에 구체적으로 답하는 학문이다. 표기에 얽매이지 않고 내용을 보려 한다면 우리는 수학을 통해 원하는 해답에 도달할 수 있다.” 이를 통해 알 수 있듯이 수학이란 문제를 발견하는 데 그치는 것이 아니라 세상물정 안 온갖 일들을 실제로 해결할 수 있는 유용하고 매력적인 도구이다. 그런데도 많은 사람들이 풀이 과정에 등장하는 수식을 이해하지 못해 수학에서 멀어져가는 것에 대한 안타까움에 저자는 이 책을 집필했다고 한다.
그렇다면 수학의 내용을 알면 무엇이 달라질까? 지금껏 어려운 수식으로만 보였던 [불확정성 원리]의 공식 ‘Δl×Δυ]h’가 ‘이 세상에 확정적인 것은 아무것도 없다’는 의미를 표현하는 언어이며, 이 원리 때문에 일상 도구인 스마트폰의 IC칩 안에서 위치를 확정할 수 없는 전자가 절연체를 빠져나가는 문제를 해결하기 위해 [양자론]을 구사하는 사람들이 맹렬하게 싸우고 있는 세계에서 우리가 살고 있음을 이해할 수 있다. [유클리드 기하학]의 세계가 [상대성 이론]의 세계로 변하면서 지금껏 현실이라 믿고 있던 세상이 비현실로 뒤바뀌는 경험을 하기도 한다.
이렇듯 수학이라는 학문을 이해하고, 새로운 깨달음의 즐거움을 얻으며, 그것을 숫자가 아닌 비즈니스와 자유?법?종교?경제 등 우리 삶을 이루고 있는 모든 요소로 이야기하는 것이 바로 이 책이다. “진리에 다다르는 한순간의 번뜩임, 그것이 바로 수학적 사고이다”
이미 수학적 공간 안에 살고 있는 현대인을 위한 가장 유용한 수학 사용법“수학을 이해하고 싶어 하는 사람은 대략 두 종류로 나뉜다. 수학의 재미, 우주를 해명하는 즐거움을 조금이나마 느끼고 싶은 사람과 일하는 도구로 활용하고 싶은 사람이다. 물론 이 책은 두 가지 기대에 모두 부응할 것이다. 왜냐하면 수학의 즐거움을 안다는 것에는 수학을 일의 도구로 활용한다는 의미가 포함되어 있기 때문이다.” [본문 중에서]한편 문제를 발견하는 것이 수학이라면, 문제를 발견하기 위해 필요한 사고가 바로 ‘수학적 사고’이다. 수학의 즐거움을 맛보는 것뿐 아니라 수학을 일의 도구로 사용하고 싶어 하는 모든 사람에게 꼭 필요한 것이 바로 이것이다.
이 책이 말하는 수학적 사고란, 우리에게 있는 온갖 정보들을 머릿속의 수학적 공간 안에서 자유롭게 전개하고 구축하여 단숨에 진리에 다다르는 번뜩이는 사고를 말한다. 책에서는 이것을 “문제라는 이름의 미로를 정리하여 스타트와 골을 일직선으로 연결하는 길을 만든다거나 미로를 계층화하여 본 적 없는 구조물을 만드는 것처럼, 이미지화 된 정보를 머릿속에서 움직여 한순간에 해답을 찾아내거나 아무도 눈치 채지 못한 문제를 찾아내는 것”이라 표현하였다.
마치 노련한 석공이 돌의 눈을 한눈에 파악하여 한 번의 망치질로 정확하게 돌을 깨뜨리는 것과 비슷한 이 수학적 사고를 익힐 수만 있다면, 『숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책』이라는 이 책의 제목처럼 수학은 물론 일이라는 우주, 자신의 목표라는 우주, 취미라는 우주, 돈이라는 우주 등 어떤 현실 세계의 우주에서라도 그때껏 아무도 찾지 못한 진리를 재빨리 찾아 해결할 수 있다. 바로 이것이 수학이 존재하는 진짜 이유이며, 수학적 사고는 이를 위해 사용하는 것이다. 이 책은 그 방법론을 보여주고 있다.
인공지능이 인간의 능력을 뛰어넘어 세상을 위협한다면 어떻게 해야 할까? 자유란 무엇이며 어떻게 사용해야 할까? 고민도 수학적으로 해결할 수 있을까? 나에게 맞는 비즈니스는 무엇일까? 이러한 질문들에 대한 수학적 해답이 궁금하다면 지금 바로 이 책을 펼쳐보기 바란다.
많은 사람들이 ‘논리적인 사고가 수학적 사고’라고 오해하지만, 사실 수학적 사고는 논리적 사고보다 훨씬 큰 것이다. 또 많은 사람들이 ‘수학적 사고란 곧 합리적 사고’라 생각하지만 이 책에 따르면 그 생각 역시 틀린 것이다. 인간이 합리적이지도 논리적이지도 않고 한정 합리적인 것처럼, 수학 역시 마찬가지다. 세상에는 이치에 맞지 않고 이유를 모르는 것들, 불합리하다고 생각되는 것이 있는 반면 모두 이해할 수 있는 합리적인 것도 있다. 수학적 사고는 이런 것을 모두 포함하고 있는, 우리의 생각보다 훨씬 커다란 사고이다. 이 책을 통해 이러한 수학적 사고를 손에 넣어 자유로운 발상을 할 수 있다면, 우리를 둘러싼 복잡한 세상의 이치가 어느덧 눈앞에 심플하게 그 모습을 드러낼 것이다.