그림으로 이해하는 일상 속 수학 개념들

진짜 중요한 건 수학 문제 푸는 법이 아니다. 수학자처럼 생각하는 법이다! 수학에서 멀어진 사람의 인생을 바꿔 줄 단 한 권의 책

2019년 미국 노동통계국이 발표한 2028년까지 가장 유망한 직업 스무 가지 목록에 ‘수학자’와 ‘통계학자’가 이름을 올려 화제가 되었다. 수학자와 통계학자뿐 아니라 최근 전 세계적으로 주목받는 ‘데이터 과학자’와 ‘개발자’ 같은 직군 또는 IT 관련 업계에서 일하려면 수학적 사고력이 반드시 필요하다. 디지털과 인공지능 시대에 수학 지식, 나아가 수학적 사고력은 더 이상 특별하게 똑똑한 천재의 전유물이 아닌 것이다. 점점 복잡해지는 세상의 이면에는 다양한 수학적 사고와 판단이 숨어 있고 모두가 그 원리를 이해하고 삶에 활용할 필요가 있다. 입시 목적의 문제 풀이 위주 교육 후유증을 앓고 있는 ‘수포자’ 신세에서 벗어나, 세상의 본질을 분석하고 이해하는 수학의 세계와 친해지는 것은 이제 선택이 아닌 필수다. 『이상한 수학책』에서 벤 올린은 바로 지금 우리가 알아야 할 진정한 수학의 모습을 보여 준다. 수학의 수많은 용도와 이상한 기호, 그리고 일반적으로 이해하기 힘든 수학 연구의 특징인 정신없는 논리적 도약과 신념 등을 말이다. 2009년에 예일대를 졸업하고(수학과 심리학 복수 전공) 몇 년 동안 중학교와 고등학교에서 아이들에게 수학을 가르치던 작가는 2013년부터 ‘이상한 그림으로 보는 수학’(Math with Bad Drawings) 블로그를 통해 대중에게 쉽고 재미있는 수학을 선보이고 있다. MIT 수학 교수 아버지와 수학자 아내를 둔 작가는 어렸을 때부터 지금까지 수학이라는 과목 자체를 즐겨 왔다. 그는 수학이야말로 현실을 살아가는 데 무엇보다 유용하고 실용적인 학문이며, 본질적인 아름다움을 느낄 수 있는 학문이라고 주장한다. 작가는 수학은 만인의 것이어야 한다는 믿음을 토대로 자신의 트레이드마크인 알록달록 ‘이상한 그림’과 유쾌한 농담을 활용해 수학의 개념과 원리를 쉽게 풀어서 설명한다. 새로운 형태의 틱택토 게임을 통해 수학자가 어떻게 생각하는지 보여 주고, 주사위 한 쌍을 굴려서 경제 위기를 이해하는 법을 보여 주고, 〈스타워즈〉에 나오는 데스 스타를 구체(球體)로 건설하려고 할 때 뒤따르는 수학적 골칫거리들을 보여 준다. 미국 선거인단 제도, 인간 유전학, 통계를 믿지 말아야 하는 이유까지 다양한 주제를 담고 있는 이 책은 수학과 멀어진 사람과 수학과 사랑에 빠진 사람 모두에게 인생을 바꿀 단 한 권의 책이 되어 줄 것이다.

별밤지기 코멘터리

수학은 우리가 사는 세상을 풀어서 설명해 주는 언어에 더 가깝다. 물론 좀 배우기 어려운 언어라는 점은 인정한다. 하지만 이 책을 통해 우리는 수학이라는 언어와 친해지는 법을 배울 수 있다. 친절한 수학 선생님이 그려 주는 이상하고 웃긴 그림을 보며 한 장 한 장 책장을 넘기다 보면, 어느새 수학에 품고 있었던 선입견과 오해가 풀려 있을 것이다. 그리고 어쩌면 수학을 좋아하고 수학과 친해지게 될지도 모른다.

머리말

제1부 수학자처럼 생각하는 법
제1장 궁극의 틱택토
제2장 학생들은 수학을 어떻게 바라볼까?
제3장 수학자들은 수학을 어떻게 바라볼까?
제4장 과학과 수학은 서로를 어떻게 바라볼까?
제5장 뛰어난 수학자와 위대한 수학자

제2부 디자인: 쓸 만한 것들의 기하학
제6장 삼각형으로 세운 도시
제7장 비이성적인 종이
제8장 정사각형과 정육면체의 우화
제9장 주사위 만들기 게임
제10장 입에서 입으로 전하는 데스 스타 이야기

제3부 확률론: 어쩌면의 수학
제11장 당신이 로또 줄에서 만난 열 사람
제12장 동전의 자식들
제13장 당신의 직업에서 확률은 어떤 의미일까?
제14장 이상한 보험
제15장 주사위 한 쌍으로 경제 파탄 내는 법

제4부 통계학: 정직하게 거짓말하는 기술
제16장 통계를 믿지 않는 이유
제17장 마지막 4할 타자
제18장 과학의 성문 앞에 들이닥친 야만인
제19장 득점판 전쟁
제20장 책 파쇄기

제5부 전환점: 한 걸음의 힘
제21장 다이아몬드 가루에 붙은 마지막 알갱이
제22장 과세 등급 이야기
제23장 미국 대선은 빨강 파랑 색칠 놀이?!
제24장 역사의 카오스

감사의 말
주석

2009년에 대학을 졸업했을 때, 나는 수학이 인기가 없는 이유를 알 것 같았다. 전체적으로 수학을 가르치는 방식 자체가 글러 먹었기 때문이다. 수학 수업은 아름답고 상상력 넘치고 논리적인 예술을 가져다가 잘게 채를 썬 다음 다시 원래대로 조각 맞추기를 하라는 불가능한 과제를 학생들에게 준다. 그러니 학생들 입에서 앓는 소리가 나오는 것도 당연하고, 학생들이 수학에 낙제하는 것도 당연하고, 어른들이 수학 공부하던 시절을 떠올리면서 치를 떠는 것도 당연하다. 그 해법은 너무 뻔했다. 수학은 더 나은 설명이 필요하고, 더 나은 설명을 해 줄 사람이 필요했다.
-7쪽, ‘머리말’ 중에서역사적으로 가장 위대한 수학자들은 지적 과업을 이루는 데서 멈추지 않고 다른 사람들이 따라올 수 있도록 새로운 길을 닦아 놓았다. 유클리드는 자신의 지난 통찰들을 그 무엇도 대신할 수 없는 귀중한 교과서에 담았다. 칸토어(Cantor)는 무한에 대한 자신의 이해를 따르기 쉬운 간결한 논증 속에 농축해 놓았다. 여러 세대에 걸쳐 조화 분석(harmonic analysis) 학자들의 멘토였던 스타인(Stein)은 자신만큼이나 위대한 수학자들의 조언자가 됐다.
(……) 자신의 생각을 제대로 전달할 능력이 없는 수학자는 그날의 나처럼 자기 생각 속에 섬처럼 혼자 고립되어 남에게 닿지 못하는 운명을 맞이할 것이다. 반면 자신이 아는 진리를 공유할 수 있는 수학자는 사람들에게서 감사의 마음과 영웅 대접을 받는 즐거움을 누릴 것이다.
-68~69쪽, 제1부 제5장 ‘뛰어난 수학자와 위대한 수학자’ 중에서인생도 마찬가지다. 무작위로 일어나는 일회성 사건들로 가득하다. 예상도 못 했는데 기차가 지연되기도 하고, 뜻하지 않았던 역전승을 거두기도 하고, 난데없이 마법처럼 주차할 자리가 생기기도 한다. 폭풍이 몰아치는 이 세상에서는 못 일어날 일이 없고, 운명은 결코 사건을 예고하지 않는다.
하지만 동전 던지기를 수조 번 해 보면 완전히 다른 세상이 펼쳐진다. 장기적인 평균치로 잘 다듬어진 세상이 기다린다. 여기서는 모든 동전 가운데 절반은 앞면이 나오고, 새로 태어나는 아기 가운데 절반은 사내아이고, 100만분의 1 확률의 사건은 얼추 100만 번에 한 번꼴로 일어난다. 눈부시게 화창한 이 이론의 세상에서는 변덕이나 우연이 존재하지 않는다. 변덕과 우연은 바다에 던져진 돌멩이처럼 모든 가능성의 총합에 매몰되어 사라지고 만다.
확률론은 이 두 세상 사이에 다리를 놓아 준다. 우리가 아는 세상은 거칠고 모호한 것투성이라 확률론이 필요하다. (……) 죽을 운명인 우리는 결코 영원의 세계에 발을 들여놓을 수 없지만 확률론 덕분에 그 세계를 살짝 엿볼 수 있다.
-172~173쪽, 제3부 ‘확률론: 어쩌면의 수학’ 중에서통계학은 분류, 추정, 예측을 통해 우리가 현실의 강력한 모형을 구축할 수 있게 해 준다. 그렇다. 이 모든 과정이 단순화에 달려 있다. 그렇다. 단순화는 생략을 통해 거짓말을 하는 것이다. 하지만 잘만 사용하면 통계학은 정직한 거짓말이 될 수 있다. 이 과정은 호기심에서 연민에 이르기까지 인간의 생각 속에 들어 있는 온갖 미덕을 필요로 한다.
그렇게 따지면 통계학은 이 책에 그려 넣은 막대 인간(stick figures)과 그리 다를 바 없다. 통계학은 현실 세계를 그린 이상한 그림이다. 손도 코도 없는 그림이지만 그래도 그 나름대로 독특한 진리를 이야기하고 있다.
-271쪽, 제4부 ‘통계학: 정직하게 거짓말하는 기술’ 중에서과학은 결코 절대적 확실성이나 슈퍼맨 같은 완벽함으로 정의되었던 적이 없다. 과학에서는 언제나 건강한 회의주의 시각에서 모든 가설을 검증하는 것이 가장 중요했다. 이런 싸움에서 통계학은 없어서는 안 될 동맹이다. 통계학이 과학을 벼랑 끝으로 몰고 가는 데 한몫했던 것은 사실이지만 과학을 다시 제자리로 돌려보내는 데도 한몫하리라는 점 역시 분명하다.
-336쪽, 제4부 제18장 ‘과학의 성문 앞에 들이닥친 야만인: p값의 위기’ 중에서최근 열 번의 선거 가운데 다섯 번은 공화당에, 다섯 번은 민주당에 유리하게 작용했다. 이것을 평균 내면 민주당이 0.1퍼센트 미만으로 어드밴티지를 누렸다고 나온다. 실버는 이렇게 지적한다. “한 선거에서 어느 정당이 선거인단 어드밴티지를 누리느냐, 그리고 4년 후에는 어느 정당이 어드밴티지를 누리느냐 하는 것 사이에는 거의 아무런 상관관계도 존재하지 않는다. 이 부분은 전체 유권자 사이에서 발생하는 비교적 미묘한 변화에 따라 왔다 갔다 할 수 있다.”
-435쪽, 제5부 제23장 ‘미국 대선은 빨강 파랑 색칠 놀이?!’ 중에서트버스키의 관점에서 보면 작은 선택들은 예측 가능한 인과 관계를 따른다. 하지만 큰 규모에서 일어나는 사건들은 악마같이 복잡하고 상호 연결되어 있는 시스템이 만들어 낸다. 이런 시스템 안에서는 모든 움직임이 맥락에 좌우된다.
인간의 역사도 마찬가지라고 생각한다. 한 사람은 예측할 수 있다. 하지만 군중은 그렇지 않다. 군중의 정교한 상호 관계는 아무런 까닭도 없이 일부 패턴은 증폭하고 일부 패턴은 지워 버린다.
인생 게임이 로렌츠의 날씨 시뮬레이션과 마찬가지로 컴퓨터 시대에 등장한 것은 우연이 아니다. 본질적으로 카오스는 사람이 머릿속에 그릴 수 있는 종류의 것이 아니다. 인간의 정신은 무엇이든 매끄럽게 펴려는 경향이 너무 강하고 진실을 보기 편한 소수 자리로 반올림해 버리는 습성이 있다. 카오스를 자유자재로 다루어 그 패턴을 드러내려면, 또는 패턴이 없음을 드러내려면 우리 뇌보다 훨씬 더 크고 빠른 뇌가 필요했을 것이다.
-451쪽, 제5부 제24장 ‘역사의 카오스’ 중에서

복잡한 세상을 명쾌하게 풀어 주는 수학적 사고의 힘
왜 주사위는 육면체일까? 피라미드 설계자가 삼각형과 사랑에 빠진 이유는?
대학 순위에는 어떤 통계 이론이 숨어 있을까? 딸이 엄마를 닮을 확률은 얼마나 될까?
수학 교사 출신 저자가 그림으로 보여 주는 흥미진진한 수학의 세계★ 아마존 베스트셀러 ★
★ 《틀리지 않는 법》 조던 엘렌버그 추천 ★수학의 기본 정의부터 시작해 기하학, 확률, 통계까지
위트 만점 흥미진진 ‘이상한 그림’으로 이해하는 일상 속 수학 개념들수학은 왜 사람들에게 인기가 없을까? 수학 하면 대체로 이런 것들이 떠오른다. 난해한 공식, 복잡한 계산, 알 수 없는 그래프……. 작가가 교실에서 만난 학생들도 마찬가지였다. ‘왜 기하학을 공부하는가’에 대한 고등학교 1학년 학생들의 결론은 다음과 같았다. “우리는 대학과 고용주에게 우리가 똑똑하고 일도 열심히 한다는 것을 증명하기 위해 수학을 공부한다.” 과연 그럴까?
이 책은 우등생과 열등생을 가려내는 메커니즘으로서의 수학이 아니라, 세상의 심오한 원리로서의 수학을 보여 주려는 야심 찬 도전이다. 수학은 동전과 유전자, 주사위와 주식, 책과 야구 등 서로 상관없는 영역을 연결하고 있으며, 삶의 모든 측면에서 토대를 이루는 학문이다. 왜냐하면 “수학은 생각의 체계”이기 때문이다. 그리고 “생각은 세상의 모든 문제를 해결할 때 도움이 된다.”
작가는 수학 교사로서 교실에서 학생들을 만나던 시절, 수학을 어려워하고 멀리하는 아이들을 보며 좌절을 거듭했다고 고백한다. 그러던 어느 날, 형편없이 못 그린 ‘이상한 그림’으로 수학 개념을 설명하자 학생들이 웃음을 터뜨리고 심지어 매력을 느끼기까지 하는 모습에 ‘이거다!’를 외쳤다. 작가는 ‘이상한 그림’을 활용해 다양한 수학 개념을 설명함으로써 사람들에게 수학의 인간미를 느낄 수 있게 해 준다. 순간의 망신을 통해 영원한 깨달음을 얻고 대중 수학 교육 전도사로 나선 것이다.4차 산업 혁명 시대, 우리는 어떻게 수학을 공부할 것인가
“우리를 웃게 만들어 주고, 더 똑똑하고 현명하게 만들어 주는 책”이 책은 수학을 다루고 있지만 수학 문제나 해설은 단 하나도 나오지 않는 ‘이상한’ 수학책이다. 작가는 수학 문제와 풀이를 나열하는 대신 수학의 진정한 핵심, 수학 ‘개념’에 초점을 맞춰 이야기를 풀어 나간다. 우리가 거리에서 흔히 보는 다리나 자전거에는 어떤 기하학 법칙이 숨어 있을까? 로또와 유전 법칙과 보험에서 확률 개념은 어떻게 활용될까? 통계는 대체 어디까지 믿을 수 있을까? 승자 독식 방식을 취하는 미국 대통령 선거에는 어떤 수학 개념이 영향을 주었을까? 이런 질문들에 답하며, 우리가 당연하게 받아들이는 현실 속에 당연하지 않게 숨어 있는 수학 개념을 하나하나 보여 준다. 작가는 실생활에 활용된 흥미로운 수학 개념들을 설명함으로써 왜 우리 모두에게 수학적 사고력이 필요한지 자연스레 깨닫게 해 준다.
한 걸음 더 나아가 이 책은 진정한 수학을 통해 더 나은 삶의 태도를 배울 수 있음을 가르쳐 준다. 예를 들어 이런 식이다. ‘뛰어난’ 수학자는 단순히 수학 문제를 빨리 풀어서 해답을 도출하는 능력이 월등한 사람이다. 반면 ‘위대한’ 수학자는 수학의 본질을 꿰뚫고 다른 사람들을 이해시키는 능력이 탁월한 사람이다. 그리하여 위대한 수학자들은 경쟁에서 이기는 데 급급하지 않고, 한층 더 발전된 지적 성취를 이루기 위해 오히려 경쟁자들과 적극적으로 협력한다. 수학을 ‘성과 측정 지표’ 정도로만 활용해 왔던 사람들에게는 신선한 충격으로 다가올 만한 발상이다. 하지만 정보 공개와 교류가 비약적으로 활발해지고 변화가 급속도로 빠른 4차 산업 혁명 시대에는 이런 ‘위대한’ 수학자의 태도가 필요하다.
분명 수학은 쉽지 않은 대상이지만, 무조건 피하는 게 답인 흉측하고 무서운 괴물은 아니다. 차라리 수학은 우리가 사는 세상을 풀어서 설명해 주는 언어에 더 가깝다. 물론 좀 배우기 어려운 언어라는 점은 인정한다. 하지만 이 책을 통해 우리는 수학이라는 언어와 친해지는 법을 배울 수 있다. 친절한 수학 선생님이 그려 주는 이상하고 웃긴 그림을 보며 한 장 한 장 책장을 넘기다 보면, 어느새 수학에 품고 있었던 선입견과 오해가 풀려 있을 것이다. 그리고 어쩌면 수학을 좋아하고 수학과 친해지게 될지도 모른다. 1. ■ 이 책에 쏟아진 찬사들 이 책은 말과 숫자와 만화가 멋지게 어우러진, 별나도 아주 멋지게 별난 한바탕 축제다. 이 축제가 따분한 교실에 붙잡혀 있던 수학을 햇빛이 찬란한 야외로 데리고 나간다. 이곳이 원래 수학이 있어야 할 곳이다. 이 책은 수학을 사랑하는 친구에게도, 스스로 수학을 싫어한다고 생각하는 친구에게도 좋은 책이다. 사실 모두에게 좋은 책이다!
-조던 엘렌버그, 《틀리지 않는 법》 저자수학의 폭넓은 내용을 친근하고 멋진 방식으로 다루고 있는 이 책은 ‘하하……’에 ‘아하!’를 더해 준다. 이 책은 당신을 웃게 만들어 줄 것이다. 그리고 당신을 더 똑똑하고 현명한 사람으로 만들어 줄 것이다.
-스티븐 스트로가츠, 《X의 즐거움》 저자흥미롭고 복잡한 수학적 개념을 이상한 그림(책 제목과 달리 그의 그림은 사실 그리 이상하지 않다!)을 통해 솜씨 좋게 전달하는 벤 올린의 능력은 누구도 따라올 수 없다. 이 책은 세상과 관련한 수학의 아름다움을 잘 보여 주는 훌륭한 책이다. 수학은 재미없다고, 우리가 사는 세상과는 상관없다고 생각한 적 있는 사람은 꼭 읽어 봐야 할 필독서다!
-존 어셸, 2017년 《포브스》 선정 30세 미만 과학자에 뽑힌 수학자 겸 전직 NFL 선수올린의 블로그에 올라왔던 광범위한 주제의 수학 관련 글들을 토대로, 트레이드마크인 위트 넘치는 이상한 그림, 경쾌하고 친근하게 대화하는 듯한 어투 등을 살려 한층 흥미롭게 엮은 책. 수학과 현실 세계를 연결해 주는 이야기들이 소설처럼 펼쳐지며 수학 초보자와 수학 마니아를 모두 매혹시킨다.
-〈아르스 테크니카〉(Ars Technica)