더하기와 곱하기만으로 이루어진 새로운 수학의 정석

이강환(천문학자, 전 서대문자연사박물관 관장)

지금까지 모두가 알고 있던 수학을 뒤집는 새로운 공부법! 《수학하지 않는 수학》은 사각형 넓이 구하기부터 미적분 풀이까지 암기 없이, 두려움 없이 수학에 다가가는 즐거운 지적 탐험이다. ‘수학 천재’ 제이슨 윌크스는 기존의 입문서나 교과서에서 다루지 않는 기초 중에서도 가장 기본을 짚고, 대학 교재에서조차 섣불리 언급하지 않는 개념을 끌어내 넓은 범위의 수학을 두루 섭렵하며 아주 쉽게 서술한다. 1차원 ‘선’에서 출발해 다차원 ‘시공간’까지 찬찬히 확장해나가며 우리가 사는 세상을 설명하는 언어인 수학을 제대로 알려준다. 이 책에서 다루는 모든 과정에는 배경지식이 필요하지 않다. 더하기, 곱하기만 알면 누구나 명쾌하게 수학을 이해할 수 있고 혼자서도 가뿐하게 미적분을 풀 수 있다.

한국어판 서문
해제 - 미적분을 이해하는 가장 훌륭한 방법
서문
서서문

1막
1장 엑스 니힐로
1.1. 수학 잊어버리기
1.2. 수학 개념 발명하는 법
1.3. 재회
막간 1 시간 지연

2장 무한 배율 확대경의 무한 파워
2.1. 어려운 문제를 쉬운 문제로
2.2. 미적분학 발명하기
2.3. 확대경을 이해하자
2.4. 어둠 속에서 극단값 사냥하기
2.5. 엄격함에 대한 짧은 설교
2.6. 재회
막간 2 무에서 무언가를 만드는 법

3장 무의 세계에서 호출된 것처럼
3.1. 이거 누가 주문했지?
3.2. !기이속 을학수
3.3. 매력적인 새 등장인물 입장!
3.4. 망치, 패턴 그리고 망치의 패턴
3.5. 창조 이야기의 국면 변화
3.6. 망치와 사슬
3.7. 재회
막간 3 미래를 뒤돌아보며

2막
4장 원 그리고 포기에 대하여
4.1. 개념 원심분리기
4.2. 가면증후군
4.3. 모르는 두 값이 같다?
4.4. 잡탕 분리하기
4.5. 의미 있는 것
4.6. 딜레마
4.7. 몰리에르가 죽었다! 몰리에르 만세!
4.8. 불필요한 이름들이 내는 성가신 불협화음
4.9. 미분할 줄 모르는 것을 미분하기
4.10. 재회
막간 4 향수 장치

5장 미학 그리고 불변의 존재
5.1. 무의 세계로 손을 뻗다
5.2. 네 가지 종
5.3. 형식과 비형식
5.4. 곱더 종의 동물원
5.5. 곱곱 종
5.6. 재회
막간 5 구름 두 조각

3막
6장 하나 속 둘
6.1. 둘은 하나다
6.2. 근본 망치의 현장 검증
6.3. 거꾸로 망치 만들기
6.4. 두 번째 구름
6.5. 재회
막간 6 # 죽이기

N장 새로움은 낡음이다
N.1. 다리
N.2. 다변수 미적분은 표기법의 지뢰밭
N.3. 기호 놀이는 그만하면 됐고! 이걸 어떻게 머릿속에 그릴 수 있을까?
N.4. 그게 다야?
N.5. 재회
막간 N (잘못) 해석하고, (읽고,) (재)해석하고

?장 무한 황무지의 무한한 아름다움
?.1. 무의 세계의 놀라운 통일성
?.2. 루비콘강을 건너다
?.3. 동족을 잡아먹는 미적분의 발명
?.4. 무한 차원 미적분의 교육학적 손상
?.5. 무한 잭팟: 우리 개념들을 작동시키자
?.6. 재회
?.ω. 말보다는 행동을!!

Ω장 인 니힐로
책

사전 / 옮긴이의 말

우리는 지금까지 수학을 거꾸로 가르쳤다. _23쪽곡선보다는 직선이 다루기 쉽지만, 곡선도 충분히 확대해놓으면 휘어져 있는 그 각각의 조각들이 직선처럼 보인다. 따라서 곡선을 다루어야 할 문제와 마주치면 그 선이 직선으로 보일 때까지 확대한 후에 그
현미경 수준에서 문제를 쉽게 해결한 다음, 다시 원래대로 축소하면 된다. 그럼 그것으로 문제가 풀린 것이다. _24쪽수학 이야기만 나오면 학생들의 눈에 스치는 두려움을 볼 때마다 나는 정말 말해주고 싶었다. 당신이 겪었던 수학은 모두 거짓 경험이었다고 말이다. 수학이 어렵게 느껴지는 이유는 가르치는 방식이 잘못돼서 그런 것이다. _28쪽‘수학을 좀 더 잘 알고 있다’는 말은 ‘머릿속에 좀 더 많은 수학적 사실을 담고 있다’라는 의미가 아니다. ‘추상적 사고에 좀 더 훈련이 되어 있다’는 뜻이다. _28쪽나는 수학을 싫어한 적 있는 모든 사람을 위해 책을 쓰고 있다. 어린 학생, 수학에 환멸을 느끼는 사람들만을 위한 게 아니라, 수학을 정나미 떨어져도 먹고살려니 어쩔 수 없이 배워야만 하는 필수과목이라 남몰래 생각하면서 묵묵히 수학을 참고 견디며 살아왔을 뿐, 그 안에 담긴 진정한 자유와 쾌감을 한 번도 느껴본 적이 없는 수많은 과학자를 위한 책이기도 하다. _29쪽지금의 제도는 단어의 철자만 가르치지, 스스로를 기만하지 않고 객관적으로 생각하는 법은 가르치지 않는다. 또한 자연의 법칙과 인간이 임의로 만들어낸 법칙문법 같은을 대등한 것으로 가르친다. 마치 양쪽 모두 세상의 본질을 기술하는 내용인양 말이다. 그리고 어린 시절 대부분의 시간을 학교에서 보내도록 법적으로 의무화해놓았다. 우리 학생들에게, 그와 비슷한 경험을 했던 사람들에게 이 책은 내가 전하는 사과의 편지다. _33쪽수학은 암기할 것이 많은 과목이라 여기는 사람이 대다수지만 사실 알고 보면 수학은 그 어떤 분야보다도 외울 것이 없다. 다른 분야에서는 암기가 피할 수 없는 부분일지 몰라도, 수학에서는 암기가 독이나 마찬가지다. 수학 선생님이 학생들에게 무언가를 암기시키려 한다면, 그때는 학생들에게 무릎을 꿇고 빌면서 암기시켜야 마땅하다. _61쪽수학교육의 목표는 추론 과정을 혼자서 다시 이어갈 수 있는 능력을 키우는 것이기 때문에 이런 논증에 나온 단계들도 외우려고 들어서는 안 된다. 그보다는 논증을 충분히 이해해서 공식을 잊어버리는 일이 있어도(아니, 잊어야 한다) 몇 초 만에 바로 그 자리에서 다시 발명할 수 있게 해야 한다. 이렇게 하다 보면 결국에는 자기도 모르는 사이에 이런 내용들을 암기하게 될 것이다. 이해해도 너무 잘 이해하다 보니 그런 일이 생긴다. 암기하지 않고 배우는 이 선(禪) 같은 과정을 성공적으로 터득했는지 확인하려면 새로운 분야에 이것과 똑같은 추론 과정을 적용할 수 있는지 시험해보면 된다. _95쪽

수학이 어려운 건 절대 당신 잘못이 아니다!
더하기와 곱하기만 알면 미적분을 명쾌하게 이해할 수 있다
세상에 존재한 적 없는 새로운 수학 공부법지금까지 모두가 알고 있던 수학을 뒤집는 새로운 공부법! 《수학하지 않는 수학》은 사각형 넓이 구하기부터 미적분 풀이까지 암기 없이, 두려움 없이 수학에 다가가는 즐거운 지적 탐험이다. ‘수학 천재’ 제이슨 윌크스는 기존의 수학 입문서나 교과서에서 다루지 않는 기초 중에서도 가장 기본을 짚고, 대학 교재에서조차 섣불리 언급하지 않는 개념을 끌어내 넓은 범위의 수학을 두루 섭렵하며 아주 쉽게 서술한다. 1차원 ‘선’에서 출발해 다차원 ‘시공간’까지 찬찬히 확장해나가며 우리가 사는 세상을 설명하는 언어인 수학을 제대로 알려준다. 이 책에서 다루는 모든 과정에는 배경지식이 필요하지 않다. 더하기, 곱하기만 알면 누구나 명쾌하게 수학을 이해할 수 있고 혼자서도 가뿐하게 미적분을 풀 수 있다.
그동안 수학 선생님이 단 한 번도 말해주지 않은 핵심을 이 책에서 만난다. 수학은 공식을 외우고 주어진 시간 안에 문제를 푸는 것이 목적인 지루하고 어려운 과목이 아니다. 자신의 눈높이에 맞추어 나만의 개념을 발명해나가는 자유로운 생각의 방식이다. 답을 찾는 여정은 반드시 지름길일 필요 없다. 막다른 길에 도달하면 뒤돌아 나가고, 겁먹을 것 없이 막힌 곳에서부터 다시 고민하고 또 한 번 시작하면 된다. 저자는 “수학 공부는 보이지 않던 것을 드러내는 과정이며 새로운 눈으로 세상을 바라보게 하는 초대장이어야 한다”고 말한다. 세상의 본질을 들여다보고 나의 방식으로 서술하는 법을 배우는 그야말로 유용한 ‘생각 공부’인 것이다. 틀린 방법, 잘못된 방식이란 없는, 절대로 자신을 다그치지 않게 하는 수학책. 이 책을 통해 논리의 대명사, 수학적 사고를 익히며 앎의 기쁨과 뿌듯함을 느낄 수 있다.알던 공식도 잊어라! 자신만의 방식으로 수학 이해하기
사각형의 넓이는 왜 가로 곱하기 세로일까?(이 문제를 해결하면 누구나 아인슈타인의 특수상대성이론을 풀 수 있다.) 피타고라스의 정리는 꼭 외워야만 알 수 있는 것일까?(사각형 넓이를 구할 수 있다면 저절로 알게 되어 공부할 필요가 전혀 없다.) 무작정 암기했던 π는 왜 π라고 쓸까? ●나 ★이라고 쓰면 안 될까?(된다.) 3.141592…는 어떻게 나온 것일까?(미분을 먼저 배우면 가볍게 이해할 수 있는 것인데, 교과서에서는 절대로 쉬운 방법을 알려주지 않고 암기만을 요구한다.) 도대체 미적분은, 삼각함수는 왜 배워야 하고 어디에 써먹어야 할까?(책의 결론에 나온다!)
저자는 이러한 기존의 교육에 의문을 제시하고, 우리가 억지로 외웠던 공식을 모두 잊어버리라고 강조한다. 또한 이미 알고 있는 것(더하기와 곱하기)만을 활용해서 어렵게 느껴졌던 수학을 이해하도록 돕는다. 누구나 아는 가로 곱하기 세로, 사각형 넓이 구하기부터 잊도록 유도하고, 수학자들이 개념을 발명하는 과정을 되풀이해서 보여준다. 이렇게 필요한 개념을 그때그때 발명하는 훈련을 하면 처음 보는 문제에 맞닥뜨렸을 때 두려움에 빠지지 않고, 창의적인 발상으로써 문제에 도전하고 해결하는 능력을 기를 수 있다. 이 책은 이러한 새로운 시선을 통해 각자 자신만의 수학 세계를 구축할 수 있도록 꼼꼼히 알려줄 것이다.수학 교과과정을 전폭적으로 뒤엎다! 미적분을 먼저 알면 수학이 쉬워진다
개념에 대한 전복적인 접근 및 풀이에 집중하는 가운데 이 책은 기존의 수학책에서는 볼 수 없었던 흥미로운 서술 방식을 채택했다. 가장 먼저 집합, 행렬부터 삼각함수, 미적분, 확률의 순서로 꽉 짜인 정해진 틀이라고만 여겼던 교과과정을 뒤엎는다. 삼각형 빗변의 길이를 구한 다음 바로 특수상대성이론으로 넘어가고, 미적분을 설명한 뒤에 원의 넓이를 구하고 삼각함수를 풀이하는 등 수학의 재미를 잃게 만든 교과과정을 진정한 앎을 추구하는 이들을 위해 새롭게, 획기적으로 재편했다. 이는 막연히 어렵다고만 상상했던 ‘수학의 끝’ 미적분을 가볍게 이해할 수 있는 놀라운 방식이다.
또한 저자는 수학과 과학의 기념비적인 인물을 책 속에 등장시켜 인류의 지식을 한층 성장시킨 이들의 생각을 더듬어간다. 이를 통해 수학자들의 세상 이해 방식 및 그들이 개념을 탄생시킨 과정에 친근하게 다가갈 수 있도록 했다. 특히 중요하게 다루는 부분은 어처구니없이 실패한 사례다(‘1+2+4+8+…+무한히=-1’이라는 증명을 그럴듯하게 해내서 사람들을 현혹한 레온하르트 오일러 등). 처음부터 완벽한 논리는 없으며 하나의 개념이 ‘개념’이 되기까지 수십 년, 때로는 수백 년에 거쳐 다듬어졌음을 보여주고 수학이라는 변화하는 열린 학문을 체험하도록 이끈다.
이 책의 즐거움 가운데 빼놓을 수 없는 것은 엉뚱하고도 유머가 담긴 구성이다. 때로는 소설처럼, 필요하면 연극처럼, 가끔은 교과서처럼 진지하게, 장르를 자유롭게 넘나들며 종횡무진 서술해 한순간도 지루할 틈이 없다. 수학을 처음 접하거나 다시 공부하고자 하는 독자들을 위한 장치가 곳곳에 숨어 있는데, 가능한 재미를 주고 어렵지 않게 설명하고자 노력한 글의 짜임새가 무척 흥미롭다. 조금이라도 어렵다 싶으면 책 속에서 천둥이 치며 저자가 반성하고 독자가 이해할 때까지 반복해 설명한다. 책을 읽다가 모르는 부분이 생겼다 싶어 슬쩍 넘어가면, 저자는 독자가 이해하지 못한 지점을 완벽하게 파악한 듯, 능수능란하게 뒤에서 다시 언급한다.
정확한 수학 문제 풀이뿐 아니라 한 편의 서사로도 흥미롭게 읽을 수 있는 《수학하지 않는 수학》을 천천히 넘기다 보면 답을 몰라도 괜찮고, 틀려도 괜찮은 나만의 수학을 발명하는 기쁨을 누릴 수 있다. 또한 답을 찾아내는 후련함이 바로 수학하는 즐거움임을 서서히 깨닫게 된다. 저자가 제시하는 개념 하나하나를 따라가면, 난생처음 보는 수학의 난제라도 이리저리 머리를 굴리며 풀고 싶은 지적 호기심이 생긴다. 책을 덮을 즈음 독자는 수학이라는 언어로 세상을 설명하는 방식에 매료될 것이다.제대로 수학하고 싶은 이들을 위한 똑똑한 수학 공부법
《수학하지 않는 수학》은 우리의 삶과 수학이 연결된 지점을 짚으며 수학자의 세상 보는 눈을 알려주는 일방적인 책이 아니다. 실제로 문제를 마주한 수학자의 생각을 발상 단계에서부터 따라가며 해결책을 내기까지를 고스란히 보여주고, 독자가 직접 풀이 과정에 참여하도록 하는 ‘대화형’ 본격 실용 수학책이다. 교과서를 보면 수학자가 고심을 거듭한 끝에 내린 결론인 공식을 첫 줄에 제시하고 외우도록 한 뒤 적용 가능한 연습 문제를 통해 습득하도록 한다. 이와 달리 《수학하지 않는 수학》은 그동안 우리가 외웠던 공식이 어떻게 나왔는지 발명 과정을 차근차근 설명한다. 그리고 스스로 깨달은 지식과 알고 있는 개념만을 가지고 문제에 접근해서, 좌충우돌하더라도 결국에는 결론에 도달하는 쓸모 있는 생각법을 훈련하도록 한다. 이렇게 논리를 세워나가는 과정은 수학 및 과학뿐 아니라 세상을 이해하는 관점까지 바꾸어놓는 특별한 경험이 된다.
이 책은 미적분이 궁금한 초등학생 및 중학생, 수능을 준비하며 수학 과목을 이해하기 어렵다는 생각에 어쩔 수 없이 포기하려 하는 고등학교 문과생, 넘치는 공식을 외우기가 번거로운 이과생 등등 학생들에게 무척 유용한 수학 교재가 될 것이다. 사실 공식 암기만으로는 수능뿐 아니라 모든 수학 관련 시험에 유연하게 대응하기 어렵다. 하지만 《수학하지 않는 수학》의 개념 발명 방식을 익힌다면, 시험지의 문제 첫 줄에서 막연함에 움찔하는 대신 자신감 있게 정답을 도출해나갈 수 있다. 학생들에게는 수학이 주는 공포와 두려움을 극복할 기회가 될 것이다. 수학을 자유롭게 활용하고, 창의적으로 생각하는 훈련이 되어 있다면 그 어떤 문제에 맞닥뜨리더라도 순발력 있게 대처 가능하다. 매번 책상 앞에서 마음을 다잡고 집합부터 다시 공부했던 기억이 있다면 이 책을 통해 미적분부터 시작하는 발상의 전환도 큰 도움을 줄 것이다.
또한 수학을 다시 공부하고 싶지만 ‘나는 기초가 부족해서…’라고 주저하는 이들, 어지러운 세상 속 뚜렷한 답이 존재하는 수학의 세계에 빠져들고 싶은 직장인들, 과학의 언어인 수학을 통해 과학을 좀 더 이해하고 싶은 사람들, 수학을 잘하지 못했던 학창 시절에 대한 미련이 남은 이들이라면 이 책을 통해 편안하게 강박 없이 오로지 수학을 즐기는 충만한 시간을 보낼 수 있을 것이다. 누구도 판단하지 않고, 틀렸다고 혼나지 않으며, 시간 내에 문제를 빠르게 풀지 않아도 된다. 그저 머리를 굴리며 수학을 이해하는 지적 유희를 누리기만 하면 된다.
수학자의 논리적인 생각은 수학이라는 언어를 사용해 자신만의 문체로 세상의 일을 설명하는 데서 이루어진다. 이 독특한 시선은 결국 학생 및 일반 독자에게 일상을 낯설게 느끼게 하는 즐거움과 풍성한 지식, 그리고 자신감을 선사할 것이다. 또한 《수학하지 않는 수학》을 통해 수학의 본질, 그 아름다움과 자유로움을 만난 이들에게는, 언제든 두려움 없이 다시 공부할 수 있다는 벅찬 마음이 남을 것이다.