수포자였던 수학 교사, 중학 수학의 새로운 접근법을 발견하다

“수학을 포기하려는 학생들의 눈높이에서 바라봤더니, 중학 수학에 변화가 필요하다는 사실을 깨달았다.” 현직 수학 교사가 10년에 걸쳐 발견한 새로운 수학 풀이법!

한때 ‘수포자’였던 현직 수학 교사가 치열하게 고민한 끝에 발견한 중학 수학의 새로운 접근법이 담긴 책이다. 계산보다는 이해, 결과보다는 과정 그리고 창의성에 초점을 두고 수학에 접근해야 한다는 표어 아래, 학생들이 어려워하는 개념을 누구나 이해할 수 있는 수준으로 쉽게 설명하고, 학생들이 자신만의 창의적인 풀이를 이끌어내도록 유도한다. 『지금까지 이런 수학은 없었다』의 새로운 시도는 학생들이 풀이 방법을 외워 문제를 푸는 ‘계산 기계’에서 벗어나, 개념을 제대로 이해하고 수학적 사고력까지 갖춘 ‘수학 능력자’로 향하도록 안내하는 훌륭한 길잡이가 될 것이다.

들어가는 말 - 수학을 봄, 수학의 봄

1장 부채꼴 - 기하는 기하답게 접근하자
기하로 접근하는 수학의 원리
부채꼴의 넓이, 이제는 기하답게
기하답게 닮음 이해하기
* 한 묶음으로 ‘가비의 리’ 이해하기

2장 다각형의 외각 - 눈에 보이도록 도형을 다루자
다각형, 문자와 식이 꼭 필요할까?
눈으로 보는 다각형의 외각의 크기의 합
오목다각형의 외각의 크기의 합
각의 ‘순간이동’ 이용하기
* 특허 받은 수학 교구 - ‘2S진 8각 부메랑’

3장 정수의 덧셈과 뺄셈 - 기존의 방법에서 벗어나자
정수의 연산, 괄호가 꼭 필요할까?
‘시소 모델’, 자연수에서 정수로
이제 괄호는 그만!

4장 연립방정식 - 다양한 접근은 이해를 넘어 새로움을 만든다
가감법과 대입법에서 벗어나보자
연립방정식을 푸는 새로운 방법
학생들의 창의적인 풀이법
* 사각형의 성질을 설명하는 학생들의 창의적인 방법

5장 일차함수 - 그래프로 이해하면 궁금증이 해결된다
일차함수, 이제는 그래프로
그래프로 해결하는 x축 평행이동
* 시소 모델과 일차함수 그래프와의 관계

6장 확률 - 오개념에서 벗어나자
확률, 직관에서 벗어나자
99% 오답 문제, 오개념에서 벗어나기
다양한 최단거리 문제
몬티 홀 문제 끝장내기
* ‘파스칼의 삼각형’을 활용한 2S진 풀이법

나가는 말
감사의 말

“수학 교사가 되어서도 수업에서 ‘이해’를 가장 중요시했다. 수학의 원리를 잘 이해한다면 수학이 충분히 재미있으리라 생각했다. 하지만 중학교 수학을 가르치면서 느낀 점은 중학교 수학인데도 불구하고 이해하기 어려운 내용들이 많다는 것이었다. 누구나 이해할 수 있는 수준으로 수학을 바라봤더니, 중학교 수학에 새로운 변화가 필요하다는 사실을 깨달았다.”(8쪽)“우리는 기하 자체를 기하답게 배우지 못하고 있다. 중학교 1학년에 배우는 부채꼴의 넓이가 그렇다. 식의 도움을 많이 받다 보니, 부채꼴이라는 도형만 다룰 뿐 기하를 제대로 배울 기회를 놓친다. 수학 공부에 있어서 중학교 1학년은 중요한 시기다. 하지만 도형의 성질을 머릿속에 상상할 수 없는 방식으로 배우다 보니 수학이 더욱 어려워지고 수포자의 길에 들어서기 시작한다. 따라서 처음부터 기하를 기하답게 배워, 수학을 이해하는 눈을 만들어야 한다. 고등학교 3학년까지 6년 동안, 수학을 공부하는 데 기하가 많은 도움이 될 수 있게 말이다. 그 시작이 부채꼴의 넓이가 되길 바란다.”(23~24쪽)“우리가 실전에서 쓰는 정수의 덧셈과 뺄셈은 괄호가 있는 형태가 아니라 괄호가 없는 형태다. 그럼에도 불구하고 교과서에서는 많은 시간을 할애하여 괄호가 있는 정수의 덧셈과 뺄셈을 지도하고 있다. 정작 괄호가 없는 정수의 덧셈과 뺄셈을 다룬 내용은 어느 교과서를 살펴보아도 1쪽 분량밖에 되지 않는다. 이렇다 보니 열심히 공부하여 정수의 덧셈과 뺄셈에 익숙해졌다 해도, 괄호가 없는 정수의 계산에 어려움을 느껴 식의 계산 단원부터 헤매게 되는 것이다. (…) 이러한 어려움을 겪는 학생들을 위해 5-7, -3-4와 같은 식을 직접 계산하는 방법을 먼저 가르쳐야 한다. 그런 뒤 (+5)+(-7), (-3)-(+4)와 같이 괄호가 있는 계산을 괄호가 없는 계산을 통하여 해결하게 하자는 것이다. 그러면 적어도 지금보다는 더 많은 학생이 괄호가 없는 정수의 덧셈과 뺄셈을 잘하게 될 것이다.”(150~151쪽)“학생들에게 해준 일이라곤 연립방정식을 푸는 방법이 다양할 수 있다는 사실을 알려준 것뿐이다. 몇 가지 다양한 방법을 통해 학생들은 연립방정식을 푸는 수학의 원리를 정확히 이해할 수 있었다. 그 원리는 미지수가 하나인 식을 만드는 것이다. 학생들은 미지수가 하나인 식을 만들기 위해 다양한 시도를 한 끝에 창의적인 풀이법을 발견할 수 있었다. 새로운 풀이를 찾을 수 있었던 이유는 학생들에게 새로운 풀이를 발견할 수 있는 기회를 제공해주었기 때문이다. 만약 그 기회가 10년 전에 주어졌더라면, 위의 풀이들은 이미 10년 전에 발견되었을지도 모른다. 하지만 지금까지 연립방정식을 푸는 방법을 가감법과 대입법으로만 가르치고 배웠기 때문에, 그 누구도 다른 방법으로 풀어보려 하지 않았다. 수학 교육은 이제 변해야 한다. 학생들이 수학의 논리 위에서 자유롭게 생각할 수 있는 놀이터를 제공해주어야 한다. 수학은 미래 사회에서 가장 필요한 요소 중 하나인 창의성을 기르는 데 아주 효과적인 도구가 될 수 있다. 아마도 학생들은 이 책에 나온 풀이법 외에도 더 새로운 것을 생각해낼 수 있을 것이다.”(183~184쪽) “확률에서는 직관에서 비롯되는 오개념들이 많이 나타난다. 대부분의 오개념은 확률을 배우면서 해소할 수 있고, 학생들은 오개념을 해결하는 과정에서 자신의 확률적 사고를 발달시킬 수 있다. 하지만 수학에서 볼 수 있는 가장 큰 오개념이 확률 속에 깊숙이 숨겨져 있다. 학교에서는 이 오개념을 아예 다루지 않음으로써, 학생들이 겪을 수 있는 혼란을 애초에 차단한다. 오개념에서 벗어날 기회를 주지 않고 있는 것이다. 이번 장에서는 그동안 숨겨져 왔던 오개념을 다루어보려고 한다.”(215~216쪽)

개념을 확실히 잡아주는 ‘수학 개념의 재구성’
“빠른 계산보다 정확한 이해가 더 중요하다.”‘수포자’를 ‘수학 능력자’로 만드는 6가지 새로운 시도○ 부채꼴의 넓이 - 공식을 암기하는 대신 그림으로 접근해 넓이 구하기
○ 다각형의 외각의 크기의 합 - 기하학을 사용해 외각의 크기의 합 구하기
○ 정수의 덧셈과 뺄셈 - 괄호를 다시 묶지 말고 풀어가며 계산하기
○ 연립방정식 - 교과서가 다루지 않는 방식으로 다양하게 풀어보기
○ 일차함수 - 그래프를 적극적으로 활용해 함수 다루기
○ 확률 - 뿌리박힌 오개념에서 벗어나기우리는 왜 수포자가 되었을까? 수포자에서 벗어날 수 있는 방법은 무엇일까? 『지금까지 이런 수학은 없었다』는 교과서에서 배우는 수학 개념과 그에 대한 접근법을 학생들이 더욱 잘 이해할 수 있도록 새롭게 재구성함으로써, 수학을 포기하려는 학생들이 비로소 수학 능력자로 거듭날 수 있다고 말한다. 그동안 학교에서는 수학을 더욱 효과적으로 가르치기 위해, 수학을 실생활 또는 사회 현상과 연결하거나 다양한 체험 활동을 통해 학생들이 수학에 흥미를 갖도록 하는 등 많은 노력을 기울였다. 하지만 정작 수학 교과서에 실린 개념이나 학습법과 같은 수학의 알맹이는 오랜 시간이 지나도록 그대로였다. 부채꼴의 넓이는 항상 비례식을 사용해 구하고, 정수의 뺄셈은 늘 정수의 덧셈을 이용해 계산하며, 연립방정식은 가감법과 대입법으로만 풀어왔다. 정말 이 방법들이 수학을 배우는 최선의 방법일까?이 책은 그동안 어디에서도 볼 수 없었던 새로운 방법으로 중학 수학의 개념을 쉽고 흥미롭게 설명한다. 학생 시절 수포자였던 경험 때문에 저자는 항상 수학을 포기하려는 학생들의 입장에서 수학을 바라보았고, 이는 기존 교과서보다 더 쉽게 이해하게 해주는 접근법의 발견으로 이어졌다. 『지금까지 이런 수학은 없었다』의 새로운 설명을 통해, 학생들은 수학이란 번거로운 수식들로 범벅되어 자신을 괴롭히는 괴물이 아니라, 그 위에서 자유롭게 생각하며 창의적인 사고를 이끌어낼 수 있는 놀이터라는 사실을 깨달을 수 있을 것이다.‘새로움’ 이외에도 다음의 세 가지 키워드로 책의 특징을 요약할 수 있다. 첫째로, 저자는 그림을 적극적으로 사용하여 학생들이 수학의 여러 주제를 보다 쉽고 확실하게 이해할 수 있도록 도와준다. 책에 따르면, 그림을 이용하는 방법을 중학교 때부터 충분히 연습해두면 이후에 수학을 공부하는 데 큰 보탬이 된다. 부채꼴과 원의 관계를 그림을 그려 설명함으로써 공식을 암기하지 않고도 부채꼴의 넓이를 쉽게 구하는가 하면, 다각형의 외각의 합이 360˚임을 그림을 이용하여 설명함으로써 수학이 가진 논리의 힘을 자연스럽게 느낄 수 있도록 해준다. 또한 적극적으로 그래프를 활용하여 일차함수를 다루는 저자의 설명은 학생들이 함수에 더욱 익숙해질 수 있는 기회를 제공한다.둘째, 공식 암기와 빠른 계산보다 개념의 확실한 이해에 초점을 맞춘다. 덧셈을 알아야 곱셈이 가능하듯, 수학에서는 이전 개념을 모르면 다음 개념을 이해하기 힘들다. 따라서 수학 공부에서 개념의 정확한 이해는 다른 무엇보다도 중요하다. 이 책은 특히 학생들이 이해하기 어려워하는 정수의 덧셈과 뺄셈 그리고 확률의 개념을 철저히 파헤친다. 저자 자신이 새롭게 고안한 ‘시소 모델’을 도입함으로써 학생들이 자연수의 덧셈과 뺄셈으로부터 출발해 자연스럽게 정수의 덧셈과 뺄셈을 익힐 수 있도록 돕는다. 또한 학생들은 ‘99% 오답 문제’를 통해 확률의 정의를 명확히 파악하여, 확률의 뿌리박힌 오개념을 철저히 깨부술 수 있다.셋째, 저자는 학생들이 정해진 풀이 과정을 따라가는 틀에 박힌 수동적인 학습이 아니라, 자신만의 창의적인 풀이법을 발견하는 능동적인 학습을 강조한다. 똑같은 다각형의 성질이라도 그것을 설명하는 방법이 굉장히 다양할 수 있다는 사실을 보여주는가 하면, 연립방정식을 푸는 기존의 방법과는 다른 새로운 풀이법이 있다는 점을 일깨워준다. 이렇게 수학은 정해진 하나의 답을 도출하는 딱딱한 과목이 아니라는 깨달음을 통해, 학생들은 자신만의 창의적인 해법을 발견하며 비로소 수학에 재미를 붙일 수 있게 된다. 특히 4장에서 실제로 학생들이 발견한 창의적인 연립방정식 풀이들을 보다 보면, 저마다 새롭게 발견한 풀이를 서로 비교하며 능동적으로 수업에 참여하는 장면이 생생하게 떠오른다.마지막으로 이 책이 마냥 수포자들만을 위한 책은 아니라는 점을 덧붙이고 싶다. 이미 수학을 잘하고 있는 학생들은 책에 담긴 새로운 내용을 교과서와 비교하면서 개념을 보다 명확히 이해하고 사고의 틀이 확장되는 경험을 할 수 있을 것이다. 수업을 어떻게 진행하면 좋을지 고민 중인 수학 교사에게 이 책은 수업의 개선 방향을 제시하는 하나의 본보기가 될 것이다. 수학에 흥미가 있지만 쉬운 내용부터 차근차근 살펴보고 싶어 하는 일반 독자에게도 이 책은 유익한 출발점이 될 수 있다. 특히 마지막 장에서 다루는 ‘몬티 홀 문제’의 참신한 풀이법은 수학에 관심이 있는 모든 사람들이 흥미로워 할 내용이라는 점에서 『지금까지 이런 수학은 없었다』는 교양수학 도서로서도 전혀 손색이 없다.