모순과 억지를 반격하는 사이다 논리 이야기

『수학 시트콤』과 『물리학 시트콤』에서 극강의 스토리텔링 능력을 뽐냈던 독일의 과학 재담꾼 크리스토프 드뢰서! 이번에는 어렵고 딱딱하게만 느껴지는 논리학을 스토리텔링으로 풀어낸다. 수수께끼와 퍼즐, 좋은 논증과 나쁜 논증, 이율배반과 역설, 그리고 논리가 수학의 토대를 뒤흔들었던 순간까지, 최고의 과학 재담꾼이 독자들을 기묘하고 아름다운 논리의 세계로 안내한다. 논리학으로 은행 강도를 잡고 시한폭탄을 해체하고 최적의 중고차를 찾을 수 있을까? 알쏭달쏭한 이야기로 논리학의 기초를 배우고 연습문제와 논리 퍼즐을 풀면 어렵게만 느껴지던 논리학 속에 숨겨져 있던 진정한 재미를 맛볼 수 있다. 또한 시트콤처럼 유쾌한 이야기를 통해 논리학 역사상 가장 위대한 발견들을 이해할 수 있다. 완벽한 카탈로그를 만들려는 도서관 사서의 이야기로 버트런드 러셀의 이율배반을 배우고, 거짓말쟁이 섬의 퀴즈쇼 이야기로 쿠르트 괴델의 불완전성 정리를 배우다보면 천재적인 논리학자들의 생각을 엿볼 수 있다. 독자들은 궤변과 말장난처럼 보이는 논리학이 사실은 생각이 발 디딜 토대를 만드는 심오한 진리를 담고 있다는 것을 깨닫게 될 것이다.

서문 · 5

1장. 달이 만약 녹색 치즈라면··· · 11
2장. 진실과 거짓 - 악당을 잡는 논리 · 23
3장. 슈퍼맨의 곤경 - 좋은 추론과 그리 좋지 않은 추론 · 43
4장. 논리 게임 1 : 논리 퍼즐 · 71
5장. 시한폭탄 - 진리를 계산하세요! · 85
6장. 화폐 위조 사범 - 애매한 법조문 · 115
7장. 논리 게임 2 : 거짓말쟁이들이 사는 섬 · 141
8장. 카탈로그 카탈로그 - 지나친 질서 · 151
9장. 논리가 말썽을 부릴 때 - 유명한 역설들과 그 해법들 · 179
10장. 이 제목은 자기 자신을 지칭한다 - 거짓말쟁이 섬의 염소 문제 · 209
11장. 논리 게임 3 : 모자 쇼 · 239
12장. 국민계산기 - 투 링의 만능 기계 · 249
13장. 최적의 중고차 - 불명확한 개념들로 명확하게 생각하기 · 269

부록1. 연습문제 풀이 · 294
부록2. 가장 중요한 논리식들 · 313
부록3. 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리들 · 318

참고문헌 · 323
찾아보기 · 325

○ 몇십 년 전 내가 대학에서 수학과 철학을 공부할 때, 논리학은 철학 전공자들의 필수 과목이었고 논리학 강의는 그들 대다수에게 공포의 시간이었다. 황당함의 극치는 교수가 다음과 같은 문장을 너무나 태연하게 선포했을 때 찾아왔다. “달이 만약 녹색 치즈라면, 숫자 5는 고주망태다.” 교수는 이 문장이 참이라고 했다. 거짓 문장에서 거짓 문장을 도출하는 것은 합법적이며, 따라서 이 도출 전체를 표현하는 문장은 참이라는 것이 그 이유였다. (15쪽)○ 오류 추론을 내놓는 사람은 많은 경우에 외적인 권위에 기대어 자기 추론의 취약성을 보완하려 한다. 혹은 거꾸로 반대자가 수상한 인물들과 한 편이라거나 반대자 본인이 신뢰할 수 없는 인물이라는 것을 보여주려 한다.
인기 논증: “포크 음악 팬 2000만 명이 바보일 리는 없다.” “수백만 명이 꽃향기 치료를 받고 그 효과에 만족한다.”
권위 논증: “비타민 C를 다량 섭취하면 감기가 예방된다. 노벨상을 두 번이나 받은 라이너스 폴링이 그렇게 말했다.” 그러나 폴링은 노벨화학상과 노벨평화상을 받았고 노년에야 이례적인 치료법들에 관심을 기울였다. 소시지 광고에 출연하는 모든 유명인도 “전문 분야와 무관한” 주장을 뒷받침하기 위해 자신의 (예컨대 퀴즈쇼 사회자로서 쌓은) 권위를 활용한다. 거꾸로 동일한 전략을 활용하여 좋은 반론을 무력화하려는 사람들도 있다. 그들은 반론자의 전문성을 깎아내린다. “당신은 기(氣) 치료를 정식으로 배운 적이 없기 때문에 왈가왈부할 자격이 없습니다.”
갈릴레오 카드: “갈릴레오도 당대에는 비웃음을 받았습니다. 하지만 지금 그는 가장 위대한 지식인의 한 명으로 꼽히죠.” 실제로 모든 위대한 혁신가가 한때는 웃음거리였을 수도 있다. 그러나 오늘날 엉뚱하게 느껴지는 모든 생각이 미래에 정설이 되는 것은 아니다. (67쪽)○ “법을 어기지 않았다고요?” 베크만이 놀라며 묻는다. “카드 놀이할 때 쓸 게임머니를 제작했다거나 뭐 그런 얘기를 하려는 겁니까?”
“아니요.” 피테가 말한다. “제대로 된 50유로 지폐를 만든 건 맞아요.” “제대로 된”이라는 대목에서 검사와 판사는 보일락 말락 한 비웃음을 참지 못한다. 피테는 그 모습을 보지 못한다. 지금 그는 정말로 화가 났다. “하지만 그건 위법 행위가 아닙니다!”
판사는 어리둥절하다. 위법 행위가 아니라고? “슈나이더 씨, 당신은 나이를 충분히 먹었으니까 어릴 적에 마르크 지폐를 써봤을 거예요. 거기엔 법 규정이 명시되어 있었죠. 지폐를 모방 또는 위조하거나 모방 또는 위조된 지폐를 입수….”
“…그리고 유통시키는 사람은…” 피테가 단조로운 목소리로 법조문을 마저 낭독한다. “2년 이상의 징역에 처한다. 저도 압니다. 아직 기억한다고요. 옛날에 제 친구 몇 명은 지폐를 위조할 때 그 문장을 삭제하면 법의 심판을 피할 수 있다고 주장했죠.” 방청석에서 웃음이 터져 나온다. “하지만 저는 위조지폐를 유통시키지 않았습니다.” 피테가 말을 잇는다. “그 법조문은 저에게 적용되지 않아요. 정확한 문구가 ‘지폐를 위조 또는 어쩌고저쩌고 그리고 유통시키는 사람은’이잖아요. 이건 X 그리고 Y 를 하는 사람이 감옥에 간다는 뜻이에요. 저는 X를 했지만 Y 를 하지 않았어요. 따라서 그 법으로 저를 처벌할 수는 없습니다.”
판사가 일순 당황한다. 피테가 이렇게 지적으로 꼼꼼하게 따질 줄은 미처 몰랐다. 그는 잠시 시간이 흐른 뒤에야 정신을 차린다. (119쪽)○ 우리가 본 예는 수학자 버트런드 러셀(1872~1970)이 1901년에 발견한 이율배반의 예화로 사용한 “이발사 역설”(러셀 자신이 고안한 역설은 아니다)을 본떠 구상한 것이다. 작은 마을에 (남자) 이발사가 딱 한 명 있다. 그 마을의 모든 남자는 깔끔하게 면도한 얼굴을 중시하기 때문에 스스로 면도하거나 아니면 이발사에게 면도를 받는다. 즉, 이발사는 스스로 면도하지 않는 남자들만 면도한다. 그런데 문제는 이것이다. 누가 이발사를 면도할까? 방금 본 이야기에서와 유사하게 우리는 이 상황에 깃든 모순을 도드라지게 할 수 있다. 먼저 이발사가 스스로 면도하지 않는다고 가정하자. 그러면 그는 (스스로 면도하지 않는 남자이므로) 이발사에게 면도를 받을 것이다. 그런데 이는 그가 스스로 면도한다는 뜻이다. 따라서 그는 이발사에게 면도를 받지 않는다. 즉, 그는 스스로 면도하지 않는다…. 이런 식으로 ‘이발사가 자신을 면도한다’와 ‘이발사가 자신을 면도하지 않는다’를 오가는 추론이 끝없이 이어지고 명확한 결론은 나오지 않는다. (161쪽)○ 아직 사형 제도가 있는 나라에서 한 살인범이 유죄 판결을 받는다. 판사가 말한다. “사형은 월요일부터 토요일까지 중에 한 날 정오에 집행될 것입니다. 그러나 사형수는 집행일 아침에 집행인이 호출할 때에야 깜짝 놀라면서 오늘이 집행일이라는 것을 알게될 것입니다.” 사형수가 항의한다. “제가 월요일부터 금요일까지 조바심을 내며 기다리는데 아무 일도 일어나지 않으면 어떻게 되죠? 그럼 토요일이 집행일일 수밖에 없잖아요. 그러니까 저는 토요일 아침에 호출을 받아도 놀라지 않을 테고요. 따라서 토요일은 집행일일 수 없고, 최대한 늦은 집행일은 금요일이에요. 그런데 금요일 아침에 호출을 받더라도 저는 이미 예상했을 테니까 놀라지 않을 거예요. 따라서 최대한 늦은 집행일은 목요일일 텐데….” 이런 식으로 월요일까지 추론이 계속된다. 요컨대 집행인의 호출이 월요일 아침에 이루어지더라도 사형수는 놀라지 않을 것이다. “결론적으로 저는 사형될 수 없습니다!”라고 결론 내린 사형수는 감방에서 편안하게 지낸다. 그러다가 수요일 아침에 청천벽력 같은 집행인의 호출을 받는다.
여기까지가 역설의 내용이다. 사형수는 무언가 추론 오류를 범한 것이 분명하다. 과연 어떤 오류일까? (205쪽)○ 기반이 튼튼한 문장도 모순을 일으킬 수 있다. 적어도 일상언어에서는 그러하다. 다음 문장을 보라.
“이 문장은 열네 글자로 이루어졌다”
이 문장은 기반이 튼튼하다. 즉, 검증 가능한 사태를 서술한다. 더 나아가 이 문장은 참이다. 그런데 이 문장의 부정을 고찰하면, 골치 아픈 문제가 불거진다.
“이 문장은 열네 글자로 이루어지지 않았다”
글자들을 세어보라. 둘째 문장은 열일곱 글자로 이루어졌다. 따라서 이 문장은 참이다. 요컨대 한 문장(‘이 문장은 열네 글자로 이루어졌다’)과 그것의 부정이 둘 다 참이다. 이것은 논리적 ‘모순율’의 명백한 위반 사례다. (225쪽)

일상과 상상, 수학과 철학을 넘나드는 유쾌한 논리 이야기
스토리텔링 논리학으로 경험하는 지적쾌감!“달이 만약 녹색 치즈라면, 숫자 5는 고주망태다. 교수는 이 문장이 참이라고 했다.”명제, 기호, 논증, 추론, 증명... 지금까지 경험한 딱딱하고 골치 아픈 논리학은 잊어라! 은행 강도를 잡고, 시한폭탄을 해체하고, 슈퍼맨의 존재를 증명하는 좌충우돌 논리학의 세계가 펼쳐진다!“논리는 이미지가 나쁘다.” 『슬기로운 논리학』의 저자 크리스토프 드뢰서가 책의 첫 머리에서 꺼내는 말이다. ‘논리적’이라는 수식어는 때로 좋은 의미로 쓰이지만 그만큼 나쁜 의미로 쓰이는 경우도 많다. 맥락 없는 대화가 난무하는 예능 프로그램에 논리적인 대화만을 고수하는 출연자가 등장한다면 그는 당장 ‘노잼’ 딱지가 붙고 조롱의 대상이 될 것이다. <신서유기>에 유시민이 출연한다고 상상해보라! 그리고 <스타트렉>에 등장하는 엔터프라이즈호의 승무원 스폭 소령은 삶의 비논리적 측면을 흑백논리로 다루려다가 다른 승무원들과 갈등을 빚는다. 대중문화에서 논리는 쩨쩨하게 말꼬투리를 잡을 때 쓰는 것, 또는 공허한 말장난으로 여겨진다.
논리학이 찬밥 신세인 것은 학문분야에서도 마찬가지다. 논리학은 수학과 철학을 잇는 가교 역할을 하는 중요한 학문이면서도 수학과 철학 양쪽에서 골치 아픈 학문으로 여겨진다. 수학자들은 논리학이 그들의 “우아한” 통찰을 방해하는 깐깐한 형식주의라고 생각하고, 철학 전공 대학생들은 필수로 지정된 논리학 강의에서 괴상한 문장들을 이리저리 재구성하는 시험을 치르며 짜증을 낸다. 수학자와 철학자도 논리학을 어려워하는데 하물며 수학자도, 철학자도 아닌 일반인들은 어떨까? 논리학의 ‘논’자만 들어도 머리가 아파오는 느낌이다.
하지만 논리학은 단지 어렵고 골치 아프다는 이유로 포기하기에는 너무나 중요한 학문이다. 크리스토프 드뢰서는 논리가 생각의 기초이며 우리가 더 명확하게 사고하는데 도움이 되는 도구라고 말한다. 무엇이 참이고 무엇이 거짓인지, 무엇이 그럴싸하고 무엇이 그럴싸하지 않은지, 무엇이 유의미하고 무엇이 무의미한지 판별할 수 있도록 돕는다는 것이다. 여기서 말하는 ‘생각’과 ‘사고’란 수학이나 철학, 과학과 같은 학문만을 말하는 것이 아니다. 논리학을 배우는 것은 일상에서도 우리의 정신이 ‘지저분하고 불결한’ 사고로부터 멀어지도록 도와줄 수 있다. 우리가 날마다 텔레비전 토크쇼나 SNS에서 보는 주장들 말이다.
드뢰서는 이렇듯 어렵고 골치 아프지만 꼭 필요한 논리학을 스토리텔링으로 유쾌하게 풀어낸다. 논리 기호와 진리표를 이용해서 거짓말을 하는 은행 강도를 궁지에 몰아넣고, 논리적 추론을 통해 슈퍼맨이 존재하지 않음을 증명하고, 퍼지 논리를 이용해 최적의 중고차를 찾는 등 일상과 상상을 넘나드는 기상천외한 이야기들로 논리학의 기초 지식을 풀어낸다. 또한 독자는 완벽한 카탈로그를 만들려는 도서관 사서의 이야기로 버트런드 러셀의 이율배반을 배우고, 거짓말쟁이 섬의 퀴즈쇼 이야기로 쿠르트 괴델의 불완전성 정리를 배울 수 있다. 수학과 철학에 관심이 있는 독자라면 한번쯤 들어봤을 법한, 하지만 그 어떤 저자도 감히 쉽게 풀어쓸 엄두를 내지 못한 논리학의 정수를 경험할 수 있다.
가장 단순한 논리 체계인 ‘명제 논리’의 기초를 다루는 2장을 살펴보자. 강도 전담 부서의 반장인 데틀레프 벤케 경감(『수학 시트콤』과 『물리학 시트콤』에도 등장한 바 있다)은 대기실에 앉아 있는 용의자 세 명 중 최소한 한 명이 그 소도시를 떠들썩하게 만든 은행 강도라고 확신한다. 벤케는 증거와 목격자가 없는 상황에서 지난주에 세 용의자가 만나는 것을 목격한 할머니의 증언으로 일단 용의자들의 신병을 확보했다. 용의자들은 각각 개별적으로 신문을 받았는데 그들의 진술은 다음과 같다. 아르니는 보도와 크리스가 범인이며 자신은 무고하다고 주장한다. 보도는 아르니를 범인으로 지목하고 자신과 크리스는 무고하다고 주장한다. 크리스는 아르니와 보도가 범행을 저질렀으며 자신은 무고하다고 말한다.
요컨대 세 명의 용의자와 세 가지 이야기가 있다. 용의자 각각이 다른 용의자 한 명이나 두 명에게 혐의를 씌운다. 이 상황을 어떻게 해결해야할까? 벤케가 골머리를 앓고 있는데 그의 조수 후프나겔이 의기양양하게 사무실로 들어온다. “반장님, 잡았습니다!” 후프나겔은 사건을 어떻게 해결한 것일까? 후프나겔은 명제 논리를 활용해서 ‘범인은 거짓말을 하고, 무고한 피의자는 진실을 말한다’고 가정하고 세 용의자들 중 누가 거짓을 말했는지 밝혀낸다. 독자들은 후프나겔의 사고과정을 따라가면서 자연스럽게 논리학의 기초지식을 이해하게 된다.
마치 시트콤의 한 장면 같은 드뢰서의 스토리텔링은 그 자체의 재미로 논리학에 대한 흥미를 유발하고 심리적 장벽을 낮추는 역할을 톡톡히 해내면서 동시에 논리학이 일상과 어떻게 연결되는지 보여주고 있다. 독자들은 자연스럽게 논리학이 일상과 밀접하게 관련되어 있으며 왜 우리가 논리학 지식을 필요로 하는지 깨닫게 된다. 스토리텔링이라는 하나의 돌멩이로 여러 마리의 토끼를 잡는 격이다. 어려운 지식을 이야기로 전달하는 드뢰서의 능력은 그 자체로 감탄스럽다.
각 장의 말미에는 그 장에서 배운 지식을 활용해 풀 수 있는 연습문제가 있고, 책 중간의 일부 챕터에는 논리를 통해 풀 수 있는 퍼즐이 수록되어 있다. 『수학 시트콤』과 『물리학 시트콤』의 연습문제를 즐겁게 풀었던 독자들이라면, 직접 문제를 풀어보고 부록의 해답과 비교해보면서 어려운 문제를 해결하는 지적쾌감을 느끼고 막강한 논리의 힘을 느낄 수 있다.