점에서 무한까지, 나를 만나는 수학 공부

“우리에겐 수학 문제보다 더 중요한 인생의 문제들이 있는데요?” 삶의 이야기를 품은 감동과 반전의 수학 수업!

우리나라 수학교육은 초등수학에서 고등수학까지 문제 풀이 중심으로 이루어진다. 현대의 수학은 4차산업혁명, 인공지능, 빅데이터와 같은 차가운 단어를 앞세워 우리에게 더욱더 완벽하고 이성적인 문제 해결력을 요구하고 있다. 학생들은 이성적이고 논리적인 사고로 무장된 수학 열차에 타고 있다. 모든 학생이 수학 전문가가 되지 않는데, 지금의 문제 풀이식 수학교육이 과연 최선의 방식일까? 대다수 사람들에게 수학은 어렵고 괴로운 기억으로 남아 있다. 수학이 전하는 것이 차갑고 이성적인 계산뿐일까? 반은섭 저자는 수학 교사이자 수학교육 연구자로 지난 15년간 중고등학교 현장, 대학교, 대학원에서 ‘수학’을 주제로 여러 가지 담론을 나누어왔다. 수학 수업을 하고 연구를 할수록, 복잡한 수식 너머에서 삶과 맞닿은 이야기들이 찾아왔다. 수학은 인류가 세상을 인식해온 발자취라 할 만큼 인류와 오래 함께해온 분야로, 수학 그 이면에는 복잡하고 변화무쌍한 세상에서 삶을 아름답게 꾸려나가기 위한 인생의 질문들이 숨쉬고 있다. 수학이 발전하게 된 역사적인 맥락, 수학이 현대 과학에 응용되고 있는 부분, 그리고 우리 삶에 적용할 수 있는 수학의 지혜를 깊이 고민하다 보면, 수학에 대한 오해는 풀리고 삶을 살아가는 힘을 얻을 수 있다. 나와 타인을 알아가는 감수성, 세상을 살아가는 내면의 힘을 기를 수 있는 것 역시 수학이다.

| 프롤로그 | 수식 너머에 있는 의미를 찾아서 5

1장. 무한, 무한한 세상과 유한한 인간
가장 먼 곳은 바로 여기 15
공집합, 빈손으로 떠날 세상 21
순간과 무한이라는 허상 28
수학, 무한의 신비를 다루다 35
아름답고 위대한 존재의 속삭임 45

2장. 점, 빈틈없이 아름다운 그대
소수, 우리는 모두 고고한 존재 57
심플하게 산다는 것의 의미 72
아침 해가 쨍하면, 오후엔 비가 옵니다 84
인생의 진정한 감독은 우연 94
시련과 재도전, 언젠가 만나게 될 눈부신 태양 102
시장에선 명품을 팔지 않습니다 111

3장. 변화, 변화 속에서 찾고 싶은 진리
잘 모르겠으면, 미분하세요 121
함수, 변화를 받아들이는 자세 131
순간을 살지만, 인생은 긴 여행 140
‘수포자’라는 단어의 불편함 147
수학 공부, 이렇게 한번 해보세요 154
결정할 타이밍을 놓치지 마세요 165

4장. 연결, 새로운 세상과의 만남
기억 속 점들 사이의 연결 175
수학 언어로 세상을 읽다 183
미분과 적분의 드라마틱한 만남 192
위대한 역사를 남기셨나요? 202
또 다른 작은 성공 212
가장 훌륭한 답은 ‘다 쓴 답 ’ 222

| 에필로그 | 수학 교실에 남겨진 과제를 생각합니다 233

“학생들에게 눈을 감고 숫자를 하나씩 생각해놓으라고 말합니다. 학생들은 보통 10 이하의 자연수를 생각합니다. 가끔 두 자리 자연수를 생각하는 학생들이 있습니다. 생각한 숫자를 공개하는 시간. 2, 3, 5와 같은 소수를 생각한 학생들이 많습니다. 이들을 곱해 4, 6, 9, 10, 15와 같은 수를 만들어봅니다. 합성수이지요. 내가 생각한 숫자가 또 다른 숫자들의 곱으로 이루어진 것을 알게 됩니다. 소인수분해에 대한 이해가 자연스럽게 됩니다. (…) 타인이 있어야 내가 존재하는 것입니다. 나와 다르다고 생각하는 내 친구가 곧 나를 이루는 소수 같은 존재일지도 모릅니다. 친구들을 내 몸과 같이 존중해주어야 하겠지요.” _60~61쪽 “‘직관’은 수학 문제 풀이에도 많은 도움이 됩니다. 수학 문제 해결은 직관으로 시작해 이성과 논리로 마무리되는 고도의 사고 과정입니다. 문제를 해결하는 방법에 착수할 때, 과거에 내가 풀어봤던 경험과 감(感)은 풀이 과정에 대한 아이디어를 제공합니다. 비이성(非理性)의 영역이 중요한 역할을 하는 겁니다. 수학 문제를 진지하게 풀어본 사람은 공감하시겠지요. 문제가 풀리지 않다가 어느 순간 나도 모르게 갑자기 문제 해결의 실마리가 풀리는 경우가 있습니다. 아하! 하고 무릎을 치게 되죠. ‘아하(Aha)’를 경험한 것입니다.” _91쪽“학교에서 배운 함수들이 많이 있습니다. 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 지수, 로그, 삼각함수… 복잡한 것 같지만, 단순한 함수들입니다. 우리 인생에 비하면 말이죠. 우리의 삶을 식으로 나타내면, 훨씬 더 복잡한 함수가 될 것입니다. 함수는 변화입니다. 시간과 장소는 물론이고 우리의 생각은 시도 때도 없이 늘 변합니다. 변하는 세상에서 불변의 진리를 찾기 위한 노력, 그것이 곧 ‘미분’이라는 적극적인 행위입니다. 우리의 인생도 마찬가지로 미분이라는 과정을 통해 어떻게든 해석해낼 수 있습니다. 그리고 그 의미를 찾을 수 있겠지요.” _122~127쪽“현재 우리나라 수학교육 문제에 대한 탈출구가 어디 있는지, 방향조차 가늠할 수 없습니다. 일반인들뿐만 아니라 전문가들의 생각도 다 제각각 다릅니다. 하지만 분명한 힌트가 있습니다. 아마도, 우리가 ‘수포자’라는 단어를 절대로 쓰지 않는 것부터 시도해야 할 것입니다.” _153쪽“데카르트는 움직이는 어떤 물체라도 반드시 방정식으로 표현하고 좌표평면에 그래프로 나타내어 서로를 연결했습니다. 이것은 당시엔 획기적인 발상이었습니다. 복잡한 자연현상을 종이와 연필의 세계로 가져온 것입니다. (…) 대부분의 수학자들은 수학을 지탱하고 있는 대수와 기하라는 큰 기둥을 잘 연결하는 능력이 있습니다. 페르마의 마지막 정리를 350여 년 만에 증명하여 큰 화제가 된 와일즈 교수도 결국에는 대수 문제를 기하 문제로 환원하여 난제를 해결할 수 있었습니다. (…) 문제를 해결하기 위해서는 이미 알고 있는 지식을 연결하는 과정이 꼭 필요합니다. 마치 기억 속에 저장된 점들 사이의 연결 고리를 찾아 상호 연결하는 것과 같습니다.” _180~181쪽“가끔 일이 너무 복잡하게 꼬여 있어, 해결의 실마리가 보이지 않을 때가 있습니다. 미적분학의 기본 정리에서 지혜를 빌려볼 수 있을 것입니다. 우리는 넓이를 구하기 위해서 주어진 함수의 원시함수를 찾기만 하면 되었습니다. 원시함수를 찾는 것은 보다 높은 차원으로 이동하는 것입니다. 넓이를 구할 때, 원시함수를 찾아 양끝 값을 대입한 후, 빼주는 아주 간단한 작업만 했다는 것을 기억하시겠죠?
그렇다면, 어떻게 한 차원을 올려서 상황을 관망할 수 있을까요? 어떻게 원시함수를 찾을 수 있을까요? 4차원 세상에서 우리가 생각해본, 시간이라는 요소가 중요한 열쇠가 될 것입니다.” _198쪽

이 책, 『인생도 미분이 될까요』는 수학 교사이자 수학 문제 해결 과정을 오랫동안 연구해온 저자가 ‘삶과 통하는 수학 이야기’를 친근한 편지글 형식으로 풀어낸 것이다. 아주 작은 ‘점’과 같은 내가 ‘무한’한 세상으로 나아갈 때, 그 성장의 길목에서 나눌 수 있는 수학 이야기를 담았다. 공집합에서 무한까지, 확률에서 미적분까지, 수학의 다양한 주제 속에는 목적지 없이 흔들리는 마음을 가지런히 하고 삶을 사색하게 해주는 값진 이야기들이 풍부하다. 반복되는 문제 풀이에 지쳐 수학의 가치를 제대로 음미하지 못한 청소년과 일반인들에게 이 책은 아주 특별한 수학 교양서이자 에세이가 될 것이다. “우리에게 수학의 이미지는 이성적이고 계산적인 것이지요. 저는 조금 다른 이야기를 하고 싶습니다. 복잡한 수식의 행간을 들여다보면, 놀랍게도 수학이 우리의 삶과 맞닿아 있는 것을 깨닫게 됩니다. 내 삶과 연결해 생각해보면 수학은 무한한 상상력이 될 수 있고 인생 고민을 함께 나눌 수 있는 친구가 되기도 합니다. 때로는 나를 변화시키는 용기와 힘을 주기도 하며 삶을 되돌아보고 반성할 수 있도록 자극해주기도 하지요. 수학이 줄 수 있는 이런 지혜의 메시지들이 오가는 수학 교실을 상상해봅니다.” -프롤로그에서점에서 무한까지, 수학이 삶의 이야기가 될 때
수학교육의 새로운 가능성을 제시하다반은섭 저자는 긴 시간 수학교육을 전공했다. 한국교원대학교에서 수학교육을 전공해 학사, 석사, 박사학위를 받았다. 수학교육 연구는 순수 수학 연구와는 다르게 중고등학교에서 교수자가 어떻게 수학을 잘 가르치고, 학습자가 잘 배울 수 있을지를 연구하는 분야다. 저자는 수학교육 중에서도 수학문제해결론을 10여 년간 연구해왔으며, 특히 문제 해결 단계에서 심리학적인 추론 과정을 분석해 연결 모델(Connection Model)을 개발했다. 문제해결은 고도의 심리적인 작용이 필요한 정보처리 과정으로, 인지심리학의 연구와 상당부분 겹친다. 그는 “수학적 문제 해결에서 시각적 표상을 통한 유추의 역할”, “삼차방정식의 기하학적 해결을 위한 수학적 지식의 연결 과정 분석” 등 수학문제해결론에 관한 여러 편의 논문을 썼다.
『인생도 미분이 될까요』는 수학교육을 오랫동안 연구하고, 중고등학교와 대학에서 수학을 가르쳐온 저자가 ‘수학교육의 새로운 가능성’을 제시한 책이다. 수, 기하, 대수, 확률, 함수, 미분, 적분 등 수학 교과서에 등장하는 수학 개념과 담론에 삶의 얼굴을 입히는 따스한 시도를 만나볼 수 있다.
“2와 5를 각각 여덟 번씩 곱하면 1억이 됩니다. 어떤 자연수가 아무리 크다고 해도, 아주 작은 소수(素數)로 이루어져 있습니다. 작은 수도 여러 개를 모아 곱하면 아주 큰 수가 됩니다. 작은 것을 소중하게 생각해야 합니다. 우리의 삶도 마찬가지이죠. 타인이 있어야 내가 존재하는 것입니다.”
소수를 다루는 수업 시간에 반은섭 교사는 세상에서 유일무이한 ‘나’와 나를 이루는 ‘타인’에 대해 이야기한다. 그에게 수학은 삶을 사색하는 도구다. 제곱근, 로그, 삼각함수, 미적분 문제를 완벽하게 푸는 것이 모두에게 중요할까? 그 전에 삶을 대하는 태도와 지혜를 수학에서 배울 수는 없을까?
세상에는 수학 문제를 완벽하게 푸는 것보다 중요한 일이 얼마나 많은가. 관찰, 상상력, 감성, 용기, 회복력 등, 인생이라는 여행길에 나설 때 우리에게 힘이 되는 삶의 기술을 ‘수학’이라는 렌즈를 통해 배울 수 있다. 이성과 직관, 유한과 무한, 경험과 반성, 비움과 채움, 만남과 연결 등, 복잡한 수식 너머에는 삶에 영감과 힘을 불어넣어줄 지혜의 메시지들이 우리를 기다리고 있다.“수학 문제 풀이를 지도하다 보면 본인이 무슨 문제를 푸는지도 모른 채, 복잡한 수식을 늘어놓아 시험지만 새카맣게 변하는 경우를 봅니다. 심지어 이곳저곳에 중구난방으로 풀게 되고, 빈 공간이 없어 결국 책상을 종이 삼아 문제를 풀기도 합니다. 이런 경험이 혹시 있으신가요?
가능한 한 깔끔하게 풀이를 하는 것은 물론이고, 가끔씩 문제 풀이를 멈추고 생각의 과정을 뒤돌아봐야 합니다. 문제 해결과 관계없는 수식들만이 차고 넘쳐흐르고 있지는 않나요? 저 멀리서 외롭게 본질이 나를 찾고 있을지도 모릅니다. 인디언들처럼 뒤를 돌아보면서 본질을 더듬고 찾아야 합니다. 인생은 단 한 번의 추억 여행이라고 합니다. 아름다운 여행 중에 우리의 소중한 추억을 뒤돌아보고 잠시 쉬어가는 일, 심플한 삶을 위한 또 다른 방법이 될 것입니다.” -본문 82~83쪽에서수학 교사ㆍ교육학 박사가 적도에서 보낸 수학 편지
“수학, 방식을 달리하면 누구나 즐길 수 있습니다.”반은섭 저자는 현재 싱가포르한국국제학교 중고등부에서 수학을 가르치고 있다. 조금 멀리서 한국과 한국의 수학교육을 바라보면서 특별하게 다가오는 것은 “결과보다는 학습의 과정을 강조하고 실패를 허용하는 싱가포르의 교실 문화”다.
저자는 말한다. 모든 이가 수학을 잘할 필요는 없지만, 수학이 전하는 지혜의 말들에 귀 기울일 필요가 있다고. 수학을 잘하지 못해도 충분히 즐길 수 있다고. 수학에 지쳐 있는 학생들과 학부모, 그리고 수학을 어려워했던 사람들이 수학에 대한 오해를 거두고 수학을 주제로 따뜻하고 감성적인 이야기를 주고받는 장면을 기대해본다. 잠시, 일상의 속도를 늦추고 찬찬히 삶을 사색하는 독자들의 여정에 수학이 뜻밖의 다정한 안내자가 되어줄 것이다.