복잡한 것을 단순하게 보는 사고의 힘

★★★ 최정담(디멘) 강력 추천 ★★★ 청소년 필독 추천서 인생은 복잡함의 연속이다. 원칙도 정답도 없다. 순간순간 선택에 따라 길이 만들어지고 그것이 곧 스스로의 해답이 된다. 우리가 일상에서 수학을 떠올려야 하는 이유가 바로 여기에 있다. 아무리 복잡해보이는 문제라도 수학에는 반드시 실마리를 풀 수 있는 지점이 있고, 그 과정만 해결하면 단순하고 명쾌한 해답을 얻을 수 있다. 즉 수학적 사고를 할 수 있는 사람이라면 복잡한 것을 단순하게 볼 수 있는 힘을 얻을 수 있는 것이다. 여기 한 남자가 있다. 고등학교 수학 시험 0점, 전교 456명 중에 456등을 도맡아 하던 만년 꼴찌는 삼수 끝에 명문대에 가까스로 합격한다. 그리고 아르바이트로 학생들을 가르치면서 수학 공부를 포기한, 이른바 ‘수포자’들을 만나게 된다. 학창 시절 자신의 모습을 꼭 닮아 있는 아이들이 어떻게 하면 수학을 쉽고 재미있게 배울 수 있을까 고민하던 그는 수학 꼴찌에서 명문대에 합격할 수 있었던 자신의 비결이 단순히 공식을 외우고 문제풀이에 몰두한 게 아니라 수학적 사고를 통해 원리를 깨우치는 데 있었다는 걸 깨달았다. 결국 그는 어렵게 들어간 대학을 중퇴하고 본격적인 수학 강사의 길을 걷게 된다. 복잡한 수식이나 암기 없이 수학의 원리를 깨우치게 하는 그의 독특한 수업 방식은 학생과 학부모들 사이에서 큰 인기를 끌었고, 2017년 시작한 유튜브 채널은 누적 조회 수 5,000만을 기록하며 “수학에 대한 편견을 완벽히 무너뜨린 인생 강의”라는 찬사와 함께 전 세계로 퍼져나갔다. 이 책 『수학으로 생각하기』는 수학을 딱딱하고 어렵고 골치 아픈 학문이라고만 생각해왔던 사람들에게 색다른 즐거움을 선물한다. 복잡한 것을 단순하게, 모호한 것을 명쾌하게, 평범한 것을 특별하게 변화시키는 경험 말이다. 수학 점수를 잘 받고 싶은 사람이라면 과감히 이 책을 덮어라. 하지만 남들보다 쉽고, 명쾌하고, 분명한 답을 찾고 이를 통해 한 단계 성장할 수 있는 사고력을 기르고 싶다면 단언컨대 이 책은 당신에게 최고의 안내서가 되어줄 것이다.

감수의 글
시작하며
서장

1장 정의가 중요하다
원주율도 몰랐다니!

정의 파헤치기 1?0제곱은 왜 1일까?
정의 파헤치기 2?0!은 왜 1일까?

2장 문제를 이해하면 답이 보인다
골치 아픈 공식 절대 외우지 마라
문제 풀이를 재검토하다 1 공식만 외웠을 때 벌어지는 일
문제 풀이를 재검토하다 2 원리만 알면 모두가 같은 문제

3장 “왜?”부터 떠올릴 것
‘당연함’이 수학적 사고를 망친다
왜 그런지 따져보자 1 왜 분수의 나눗셈은 뒤집어서 곱할까?
왜 그런지 따져보자 2 곱셈, 나눗셈 빨리 해볼까?

더 생각하기 1 불가사의하고 아름다운 소수의 세계

4장 문해력이 99%
국어사전이 수학 성적을 올린다
풀이법을 생각하다 1 평균이란 무엇일까?
풀이법을 생각하다 2 배수란 무엇일까?
풀이법을 생각하다 3 피타고라스의 정리

5장 디테일의 힘
숫자의 나비효과
단위가 중요하다 1 1m란 무엇일까?
단위가 중요하다 2 1m³란 무엇일까?

6장 큰 그림을 보자
하나를 알면 열이 보인다
한눈에 보기 1 1년이란 무엇인가?
한눈에 보기 2 수학 노트 정리법

7장 귀납적으로 사고하기
반대로 생각해야 비로소 보이는 것들
구체에서 추상으로 얼마를 팔아야 얼마가 남을까?

더 생각하기 2 돌고 도는 사고실험 몬티 홀 문제

8장 수학에서 조건은 힌트다
조건을 빠짐없이 그리고 적절히 사용하자
모든 조건 챙기기 1 동물 다리 수 문제의 모든 조건이란?
모든 조건 챙기기 2 도형 문제의 모든 조건이란?

마치며

솔직히 고백하자면 저는 스스로 수학에 특별한 재능이 있는 영재라고 생각한 적이 단 한 번도 없습니다. 이것은 겸손이 아닙니다. 오히려 왜 특별히 뛰어나지도 않은데 다른 친구들보다 계속 더 높은 성적을 받는지 이해가 되지 않았습니다. 그러나 이제 와서 돌이켜 보니, 소위 ‘공부 잘하는 학생’과 ‘그렇지 않은 학생’을 갈라놓았던 것은 이런 사소한 태도의 차이가 아니었나 싶습니다. 그런 이유에서 이 책이 갖고 있는 잠재력은 풍부합니다. 이 책이 담고 있는, 누군가에게는 사소하지만 누군가에게는 생소할지도 모르는 수학 습관을 익혀나가는 것이 어쩌면 학원을 남들보다 더 많이 다니는 것보다 유익할지도 모르겠습니다. P.5~6(감수의 글)수학을 배우는 목적이 논리적 사고력을 키우기 위해서건 단순히 시험을 잘 보기 위해서건, 실생활의 문제 해결에 필요한 논리력를 얻기 위해서는 공식을 통째로 외우고 문제만 달달 푸는 게 아니라 ‘논리적으로 사물을 파악해 생각할 수 있는 두뇌’, 즉 ‘수학머리’를 단련할 필요가 있습니다. 따라서 여기에서는 사고력이 필요한 실제 시험문제와 평소 무심코 지나쳤던 일상 속의 수학적 사고방식을 소개하고 함께 생각해보겠습니다. 이 책을 다 읽으면 여러분은 수학적 사고방식, 이른바 수학머리를 얻을 수 있습니다. ‘수학으로 생각하는 습관’은 여러분의 미래에 반드시 도움이 될 거예요. P.13~142?의 답이 무엇인지 알고 있나요? 저는 이 질문을 0제곱을 아직 안 배운 중학생이나 수학을 잘 못했던 어른에게 많이 해봤습니다. 열이면 열 모두 ‘0’이라고 대답하더군요. 그러나 어떤 수의 0제곱은 1이라고 정의합니다. 여기서 단순히 ‘0제곱은 1’이라고 외우는 사람과, ‘왜 0제곱을 1이라고 하지?’ 하고 생각하는 사람에겐 커다란 차이가 있습니다. 그러면 0제곱을 1로 정의하는 이유를 살펴봅시다. P.35“Α, B, C 3명이 100m 달리기를 했습니다. Α는 B와 20m 차이로 골인하고, B도 C와 20m 차이로 골인했습니다. 그렇다면 Α는 C와 몇 m 차이로 골인했을까요?” 본질을 이해하지 못한 사람은 ‘A와 B의 차이가 20m, B와 C의 차이도 20m니까 A와 C의 차이는 40m’라고 생각합니다. 여기서도 본질 이해를 우선시하는 사람이라면 ‘속도×시간=거리 식에서 거리는 속도, 시간에 비례한다. 즉 속도가 2배, 3배가 되면 거리도 2배, 3배가 된다’에 주목합니다. 그러니까 같은 시간에 나아간 거리의 비와 속도의 비는 같다는 말입니다. A와 B가 같은 시간에 각각 100m, 80m 달렸다고 하면 속도의 비 A:B=100:80=5:4 똑같이 B와 C는 같은 시간에 각각 100m, 80m 달렸으므로 속도의 비 B:C=5:4임을 알 수 있습니다. 여기서 ‘비는 같은 수를 곱하거나 같은 수로 나누어도 변하지 않는다’는 성질을 이용해 B의 수치를 같게 만들면 A와 C의 속도의 비는 25:16임을 알 수 있지요. 그리고 거리는 속도에 비례합니다. ‘속도의 비=거리의 비’이므로 25:16이라는 속도의 비는 같은 시간에 달린 2명의 거리의 비이기도 하지요. 문제에서 묻는 것은 A가 골인(100m 완주)했을 때 C가 달린 거리이므로 25:16=100:64가 되겠지요. 그러면 A가 100m 달린 동안 C가 달린 거리는 64m임을 알 수 있고 문제의 답 100-64=36m가 바로 나옵니다. P.78~79여러분, 1m의 정의를 알고 있나요? 현재 1m는 ‘빛이 진공 속을 2,9979,2458분의 1초간 나아간 거리’로 정의합니다. 원래 1m의 정의는 각국에 나누어진 미터원기라는 금속 봉을 기준으로 했는데, 금속이다 보니 온도에 의한 오차가 발생한다는 문제가 있었습니다. 앞서 말한 정의는 기술이 발달한 현대에 가능한 한 오차를 없애기 위해 나중에 정해진 것입니다. 그럼 1m는 가장 처음에 어떻게 정해졌을까요? 세계 각 지역의 길이 단위는 대개 신체 일부 크기를 기준으로 정해졌습니다. 그런데 무역이 발달하자 세계의 도량형(길이, 부피, 무게) 단위가 나라마다 모두 달라 불편해졌지요. 그래서 인류 공통의 재산인 지구를 기준으로 미터법을 제정했습니다. 이 미터법에서는 ‘북극점에서 적도까지 거리의 1000만분의 1을 1m’로 정의했습니다. 그렇게 약속한 것이지요. P.146저는 요리하기 전에 레시피를 쓱 훑어보고 전체 흐름을 파악합니다. 그리고 일단 요리를 시작하면 절대로 레시피를 보지 않습니다. 한편 요리를 못하는 사람은 레시피를 옆에 두고 일일이 확인하며 요리를 합니다. 그러면 언제까지나 그 요리의 본질을 이해하지 못해 레시피를 손에서 놓지 못하고 창의적인 시도도 못하지요. 요리란 원래 대강의 본질은 같습니다. 구체적인 요리법만 조금씩 다를 뿐이에요. 그러니까 그 요리의 특징만 처음에 이해하고 나머지 부분의 흐름은 요리의 본질대로 나아가면 그만입니다. 수학 문제 풀이도 하나하나 순서를 확인하며 하는 요리처럼 한다면 같은 결과가 나옵니다. 식 변형 때마다 해설을 본다면 아무리 시간이 지나도 스스로 풀 수 없게 됩니다. P.162학원 강사 시절, 문제를 풀지 못해 끙끙대는 학생에게 “문제에서 주어진 조건을 전부 썼는지 체크해봐”라고 조언했습니다. 수학 문제를 어렵게 하는 요소에는 ‘조건의 수가 많다’가 있습니다. 거꾸로 말하면 조건의 수가 적으면 문제는 쉬울 가능성이 높아집니다. 전형적인 예가 초등학교 수학 교과서의 문장제예요. 나오는 숫자(숫자도 훌륭한 조건입니다)가 2개뿐이니까요. 그러면 어떤 연산을 할지 생각하기만 하면 되지요. 2개만 있으면 조건을 빠뜨릴 염려가 없습니다. 하지만 조건이 많아지면 빠뜨리고 맙니다. 문제에 조건이 많이 주어져도 한 번에 쓰는 일은 적고 “Α라는 조건에서 B라는 결론이 나오고 그 결론 B와 C라는 조건을 조합해 D라는 결과를 얻는다. 그 D와 E라는 조건을 합쳐 생각하면 답이 나온다”처럼 1개나 2개씩 씁니다. 그러면 아무리 신경 써도 조건을 자주 빠뜨리게 되지요. P.215‘리즈너블(reasonable, 합리적)’이라는 말을 자주 듣습니다. ‘매우 리즈너블한 가격’처럼 쓰일 때는 가격이 싸다는 의미겠지만, 본래 이 단어에는 ‘싸다’라는 뜻이 없습니다. 리즈너블은 ‘reason(이유)’의 형용사로 ‘타당하다, 합리적이다, 사리에 맞다’라는 의미입니다. ‘I am a reasonable man’은 ‘나는 싼 사람입니다’가 아니라 ‘나는 합리적인 사람입니다’라는 뜻이지요. 수학 공식에는 모두 합당한 이유가 있고 그를 잘 이해해야 조리 있는 사고력이 키워집니다. 이유나 도출법도 모른 채 통암기한 공식에 숫자만 대입해 높은 점수를 받아봤자 제대로 된 사고력은 익힐 수 없습니다. 합리적인 사고력을 익히면 필요 없는 보험에 가입하거나 복권을 100장, 200장 사서 큰 손해를 보는 일도 없겠지요. P.243

수학머리가 뛰어난 사람은 무엇이 다를까?사고의 틀을 깊고 넓게 만드는 수학적 사고의 힘수학을 잘한다는 것은 과연 무엇일까? 많은 사람이 ‘수학을 잘한다=계산을 잘한다“라고 생각하기 쉽지만 그렇지 않다. 반복적으로 공식을 외우고 문제를 푸는 것은 가장 빠르게 수포자를 만드는 방법이다. 수학을 잘한다는 것은 사물의 본질을 파악하고, 논리적으로 사고를 전개해 결론까지 생각을 하나하나 쌓아가는 능력, 즉 수학적으로 생각하는 힘이 강하다는 것을 의미한다. 이 책 『수학으로 생각하기』는 단순히 수학 공부를 잘하기 위한 학습서가 아니다. 원주율이 무엇인지, 0제곱은 왜 0이 아니라 1인지, 왜 분수의 나눗셈은 뒤집어서 곱해야 하는지, 평균은 무엇을 의미하는지 등 우리가 수학에 대해 고민해보지 않았던 본질에 관한 의문을 던짐으로써 갇혀 있던 사고의 틀을 더욱 깊고 넓게 확장시킨다. 누군가는 수학이 살아가는 데 쓸모없다고 생각할지도 모른다. 물론 생활 속에서 도형의 넓이를 구하고 미적분을 하고 방정식을 풀 일은 거의 없다. 하지만 일상에서 문제를 해결해야 하는 크고 작은 상황에서 수학적 사고력이 뛰어난 사람과 그렇지 않은 사람의 대처는 완전히 다르다. 문제의 본질을 이해하고, 왜 그런 일이 생겼을지를 고민하고, 해결에 필요한 모든 조건을 모은 뒤 순서에 따라 최적의 방법을 따라가는 일이 결국 수학으로 생각하는 습관을 가진 사람들의 특징이기 때문이다.복잡한 공식과 숫자가 주는 막연한 두려움을 깨고 수학적 사고에 한 걸음 다가설 수 있다면 우리는 완벽히 새로운 세상과 마주할 수 있을 것이다. “신이 대충 닫은 문틈으로 우주는 보는 게 수학이다!”전 세계 5,000만 명의 인생을 변화시킨 최고의 수학 수업20세기 대표적인 수학 천재로 불리는 아인슈타인. 많은 사람들의 짐작과는 달리 그는 어린 시절 수학을 싫어한 것으로 알려져 있다. 수학 문제 풀이법을 기계적으로 외우게 하는 당시의 교육 방식에 진저리를 낼 만큼 싫어했으며 종종 삼촌인 야콥에게 “수학 공식은 너무 복잡하고 어려워요. 아무래도 수학은 학생들을 괴롭히려고 만든 것 같아요”라는 투정을 부리기도 했다. 그러면 삼촌은 이렇게 대답했다고 한다. “알베르트, 수학에서 중요한 건 공식을 외우는 것이 아니라 왜 그런 공식이 나왔는지 이해하는 거란다. 기하학을 창안해낸 고대 그리스인들이 어떻게 그걸 만들어냈는지 아니? 바로 아버지가 여러 자식에게 공평하게 밭을 유산으로 나눠주기 위해서야.” 이후 아인슈타인은 어떤 문제에 맞닥뜨렸을 때 무조건 해답을 찾는 대신 ‘왜 그럴까?’를 고민하는 습관을 갖게 됐고, 이는 그가 역사상 가장 위대한 학자로 발돋움하는 데 결정적인 역할을 해냈다.이처럼 수학으로 생각하는 습관을 갖는 것은 겉으로 보이지 않는 문제의 본질을 발견하고 이해하는 훈련이 되어준다. 일본 최단기 유튜브 100만 뷰 돌파, 누적 조회 수 5,000만을 기록하며 세계 최고의 수학 멘토로 떠오른 저자의 여정을 함께하다 보면 신비롭고 유쾌한, 오직 수학만이 보여줄 수 있는 지혜와 통찰을 만끽할 수 있을 것이다.